中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】求角と方程式

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求角と方程式

角度を求めることは、小学生のころにもやっていることです。
しかし、角度を求めるために方程式を用いることは中学生ならではです。
そんな問題を練習しましょう。

例題1

次の図の角 \(x\) の大きさを求めなさい。
ただし、同じ記号の角は、等しい角の大きさであることを示しています。

中学数学・高校受験chu-su- 求角 方程式 図1-1

解説

やり方を知っていないと苦戦する問題です。
逆に言えば、一度経験をしてやり方を覚えてしまえば良いだけの問題です。

●や▲は、ただの未知数です。\(y\) や \(z\) と出題されたのと同じことです。

中学数学・高校受験chu-su- 求角 方程式 図1-2

文字なら、「方程式を立式しよう!」ってすぐに思いますよね。
●や▲でも、立式してしまえばいいのです。

下の図の赤い三角形に着目して 、\((●+▲)×2+50=180\)
より、\(●+▲=65\) ・・・①

中学数学・高校受験chu-su- 求角 方程式 図1-3

青い三角形に着目して、\(●+▲+x=180\)・・・②

中学数学・高校受験chu-su- 求角 方程式 図1-4

①、②を見比べてみましょう。
\(●+▲=65\) ・・・①
\(●+▲+x=180\)・・・②

\(●+▲=65\) を、②に代入できますね。
\(65+x=180\)
\(x=115°\)
と求まりました。

例題2

次の図の角 \(x\) の大きさを求めなさい。
ただし、同じ記号の角は、等しい角の大きさであることを示しています。

中学数学・高校受験chu-su- 求角 方程式 図2-1

解説

例題1と同様ですね。
立式をしていきましょう。

下の図の赤い三角形に注目すると
\(50+●×2=▲×2\)・・・①

中学数学・高校受験chu-su- 求角 方程式 図2-2

下の図の青い三角形に注目すると
\(x+●=▲\)・・・②

中学数学・高校受験chu-su- 求角 方程式 図2-3

①、②を見比べてみましょう。
\(50+●×2=▲×2\)・・・①
\(x+●=▲\)・・・②

②式を \(2\) 倍すると①式になる!
気付けましたか?

② \(×2\)
\(2x+●×2=▲×2\)・・・② \(×2\)
これを①と見比べると・・・
\(2x=50\)
\(x=25°\)
と求まりました。

参考

②式より、
\(x=▲-●\)・・・③
この▲ー●の値をどうやって得るか・・・
①式を変形することで得られますね。
\(50+●×2=▲×2\)・・・①
\(50=▲×2-●×2\)
この式を \(2\) で割れば
\(25=▲-●\)
つまり、
\(x=25°\)
と求まりました。

まとめ

例題1でも例題2でも、
●や▲の角の大きさは求まりませんでした。
しかし、和(●+▲)や差(▲ー●)を利用することで
角 \(x\) の大きさを求めることができました。
このような式処理もあるということを覚えておきましょう。

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