中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】確率・さいころ

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例題1

大小 \(2\) つのさいころを同時に投げます。
出た目の和が \(8\) となる確率はいくらか。

解説

樹形図

樹形図でかきだします。

中学数学・高校受験chu-su- 確率 さいころ 和8 樹形図

すべての場合の数は、\(6×6=36\) 通り
出た目の和が \(8\) になるのは、●のついた \(5\) 通り。

よって、求める確率は、\(\displaystyle \frac{5}{36}\)

別解 必要な箇所のみかき出す

上の樹形図で全体像を見ました。
この全体像がきちんと頭にえがけるのならば、
全 \(36\) 通りのかき出しをしないで解きましょう。

まず、
\(2\) 個のさいころの目の出方のすべての場合の数は、\(6×6=36\) 通り
これがは計算でさっと済ませられますね。

つぎに、出た目の和が \(8\) になるものだけかき出しで調べます。

中学数学・高校受験chu-su- 確率 さいころ 和が8の表

よって、求める確率は、\(\displaystyle \frac{5}{36}\)

別解 表によるかき出し

\(2\) 個のさいころの解法として、表による解法も有名です。
結局は、全かき出しによる解法です。

中学数学・高校受験chu-su- 確率 さいころ 和8 表

すべての場合の数は、\(6×6=36\) 通り
出た目の和が \(8\) になるのは、青字の \(5\) 通り。

よって、求める確率は、\(\displaystyle \frac{5}{36}\)

例題2

大小 \(2\) つのさいころを同時に投げます。
出た目の積が \(3\) の倍数となる確率はいくらか。

解説

表によるかき出し

例題\(1\) で見たように、全 \(36\) 通りを調べるのが基本です。
あとは、いかに省略できるところを省略するかですが・・・

どのような工夫で省略ができるのか。
まったく頭にめぐらないならば、当然かきだします。

樹形図と表、どちらが簡単でしょう。

初学者には表がおすすめです。

中学数学・高校受験chu-su- 確率 さいころ 積3 表

すべての積を計算する必要はありません。
積が \(3\) の倍数になる箇所に〇を入れていきましょう。
積が \(3\) の倍数になるのは、
(\(3\) の倍数)×(整数)
のときです。
 
全部で、\(20\) 通りあります。

よって、求める確率は、\(\displaystyle \frac{20}{36}=\displaystyle \frac{5}{9}\)

別解 必要な箇所のみ調べる

かき出し量を減らすにはどうすればいいでしょうか。

まず、すべての場合の数は、\(6×6=36\) 通りはよいですね。

ですから、積が \(3\) の倍数になる場合の数さえ求まればOKです。

積が \(3\) の倍数になるのは、上でも確認したとおり、
(\(3\) の倍数)×(整数)のときなので下の樹形図のようになります。

中学数学・高校受験chu-su- 確率 さいころ 積3 樹形図1

もちろん全体像がわかった時点でかき出しをやめて、
\(6×4=24\) (通り)
と計算で済ませてしまっても構いません。
しかし、これで終わりではありません。
この \(24\) 通りの中には、\(2\) 重に数えてしまっているものがあるのです。

下図の同じ記号をつけた \(4\) 通りが、\(2\) 重になっているものです。

中学数学・高校受験chu-su- 確率 さいころ 積3 樹形図2

よって \(2\) つの目の積が \(3\) の倍数になるのは、\(24-4=20\) (通り) です。

よって、求める確率は、\(\displaystyle \frac{20}{36}=\displaystyle \frac{5}{9}\)

いかがでしょう。
楽をしようとしてみても、上手に楽ができないものですね。
たくさん経験を積んで、省略の仕方や、そもそも省略の解法は簡単なのかなど、
\(1\) つ \(1\) つ学習していくしか道はありません!!

最も大切な教えは
「全かき出しをすることを嫌がるな!」
です。
全かき出しの経験をしないと、全体像がつかめないからです。
全体像をつかんでいない人に、省略の解法は見えてきません。

\(1\) つ \(1\) つコツコツとやっていく姿勢が大事です。

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