例題
連続する 3 つの整数の和は、3 の倍数になることを、文字を使って説明しなさい。
解説
初めてこの問題を見て、何がなんやらポカーンとなっているみなさん。
大丈夫です。
一からしっかりと解説をしていきます。
問題の意味を確認しよう
まず、「連続する 3 つの整数」の意味ですが、
1,2,3
2,3,4
3,4,5
のように、3 つ続いている整数という意味です。
100,101,102 など、
その組は無限にありますね。
そして、「これら 3 つを足すと 3 の倍数になる」というのです。
1+2+3=6・・・3×2
2+3+4=9・・・3×3
3+4+5=12・・・3×4
100+101+102=303・・・3×101
確かに上の例では 4 組すべて成り立っています。
連続する 3 つの整数の和は、3 の倍数になっています。
何組調べても、無限の組を調べることはできない
問題文の最後に、文字を使って説明しなさい、とあります。
これは一体何なのでしょうか。
ずばり結論からかくと
文字を使うことで、無限の場合を説明できる！！
のです。
連続する 3 つの整数の和は、3 の倍数になるかどうか。
具体例でどんどん確かめることができます。
実際に上では、4 組の例で確かめてみました。
しかし・・・
4 組調べてみたから、必ず、常に、どんなときも成り立つ！
とは言えません。
では 100 組調べたら良いのでしょうか。
10000000 組調べたら良いのでしょうか。
連続する 3 つの整数の組は、無限にあります。
いくらたくさん調べたところで、まだ調べていない組に、
成り立たない組があるかもしれないのです。
そこで、文字を利用するのです。
文字とはどんな数にもなれる忍者のようなもの
文字を利用することで、無限にある組について説明することができる。
どのように説明するのか。
これはもう具体例を見てもらうしかありません。
以下に模範解答を示します。
模範解答例
n を整数とすると
連続する 3 つの整数はn,n+1,n+2 と表せる。
この 3 つの整数の和は
n+(n+1)+(n+2)
=3n+3
=3(n+1)
n+1 は整数なので、3(n+1) は3 の倍数である。
よって、連続する 3つの整数の和は、3 の倍数になる。
模範解答の解説
模範解答例を読んでみて、どうだったでしょうか？
細かく解説していきますね。
連続する3 つの整数はn,n+1,n+2 と表せる。
これは、n は整数ならば何を代入してもOKという意味です。
n=1 ならば 1,2,3 の組
n=2 ならば 2,3,4 の組
n=100 ならば 100，101，102 の組
n はどんな整数でもいいので、
これで無限にあるすべての組を一括して表しているのです。
これが文字の強さです。
※この文字の利用によって、数学は著しく発達しました。数の代わりに文字を
使うという意味で、「代数学」と呼ばれます。
n+(n+1)+(n+2)
=3n+3
=3(n+1)
続いて、連続する 3 つの整数の和を計算しますね。
3 行目の 3n+3 で計算を終わりとせず、
4 行目の 3(n+1) に変形したのはなぜか。
それは、この計算結果が、3 の倍数になっていることを示すためです。
改めて、「 3 の倍数」という言葉の意味を確認しておきましょう。
「3 の倍数」とは、
3,6,9,12,・・・,99,・・・
のような「3×整数」で表される数のことですね。
ですので、ある数が 3 の倍数であることを示したいのならば、
「3 ×整数」であることを示さないといけないのです。
ですから、
3 行目の 3n+3 で計算を終わりとせず、
4 行目の 3(n+1) に変形したのです。
よって、連続する3 つの整数の和は、3 の倍数になる。
最後にこのように解答をしめくくります。
n+1 は整数なので、3(n+1) は 3 の倍数である。
のように、式変形の意味をきちんと説明し、
よって、連続する3 つの整数の和は、3 の倍数になる。
という結論をかきます。
この結論は問題文をそのまま写すということでかまいません。
文字による一括管理は、新しい考え方ではない
今回、文字を利用することで、無限の組を一括して扱う
という新しい考え方を学びました。
しかし
「たくさんのものを、総称した言葉で一括に考える」ということは、はじめてでてきた考え方ではありません。
本問にもでてきた、「3 の倍数」という言葉はどうでしょうか。
無限にある3 の倍数をまとめて扱っています。
もちろん、3×整数 になっている数
ということですね。
この 「整数」という部分を「n」に代えただけなのです。
難しく考えすぎる必要はありません。
考えるより慣れろ、といったところでしょうか。
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