【中学数学】式による説明　nの倍数　その２

整数を整数で割ったときの余りによる分類

様々な問題を解くための準備をしましょう。

「$3$ の倍数」のように、言葉 $1$ つで無限の数の集合を表すことができます。
そして、「$3$ の倍数」を文字式にすると、$n$ を整数として、$3n$ となります。
前回見たとおりです。

このような、「無限の数の集合」を表す言葉はたくさんありますが、
その中でも「整数を整数で割ったときの余りによる分類」に関しては
あらゆるパターンを習得しなくてはなりません。

「整数を整数で割ったときの余りによる分類」？？

わかりにくいですね。具体例で説明していきますよ！

整数をAで割ったとき、余りは0、１，２、・・・、(A-1) のA種類

「$3$ の倍数」、「$4$ の倍数」のような総称の他に、
「$3$ で割って $1$ あまる数」のような総称もあります。
これらを一括して学習します。
ちなみに、「$n$ の倍数」とは、「$n$ で割って $0$ あまる数」のことです。

２で割ったときの分類

整数を $2$ で割ると、余り $0$ か $1$ になります。あまり $0$ とは割り切れるということですね。

「$2$ で割ると $1$ 余る整数」のことを「奇数」といいますね。
「奇数」は文字式で、 $2n+1$ となります。$2n-1$ もよく使われます。
$2$ で割りきれる整数のことを「偶数」といいますね。
「偶数」は文字式で、$2n$ となります。

３で割ったときの分類

整数を $3$ で割ると、余りは $0$ か $1$ か $2$ になります。

４で割ったときの分類

整数を $4$ で割ると、余りは $0$ か $1$ か $2$ か $3$ になります。

整数nで割ったときの分類

きれいに整数が分類されることを見てきました。
$5$ で割ったときの分類
$6$ で割ったときの分類
$7$ で割ったときの分類
と永久に続きますが、どのように文字式で表現されるかは大丈夫ですね？

例えば $7$ で割ると $2$ 余る数　とは　$7n+2$ であり、
$2，9，16,23,$・・・という $7$ ずつ増える等差数列になります。

おまけ

「奇数＝$2$ で割ると $1$ 余る数」だけ、$2$ 通りの文字式を与えました。
$2n+1$ と $2n-1$ です。

これはよく用いられるから示しましたが、他のものにも $2$ 通りの文字式が可能です。

例えば $7$ で割ると $2$ 余る数
$2，9，16, 23,$・・・
とは　$7n+2$ でしたが、
$7n-5$ とも表現できます。

「$7$ の倍数より $2$ 多い」という表現と
「$7$ の倍数より $5$ 少ない」という表現の $2$ 種類が可能なのです。

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