【中学数学】連立方程式・代入法

代わりに入れる

連立方程式の解き方は$2$ 種類です。
加減法と代入法です。
加減法はマスターしましたか？

続いて、連立方程式の解き方の2.代入法を学習しましょう。

例題１

次の連立方程式を代入法で解きなさい。
$\left\{ \begin{array}{@{}1} 3x-y=2\\ y=x-4 \end{array} \right.$

解説

「代入」とは「代わりに入れる」ことです。

つまり、 $y$ の代わりに、それと等しい $x-4$ でもいいじゃないか、ということです。

つまり
$\left\{ \begin{array}{@{}1} 3x-y=2・・・①\\ y=x-4・・・② \end{array} \right.$
①式に②を代入すると
$$\begin{eqnarray}3x-y &=& -2 \\3x-(x-4) &=& 2 ・・・これを解いていく\\2x+4 &=& 2 ・・・両辺を２で割る\\x+2 &=& 1 \\x &=& -1\end{eqnarray}$$
これを①式あるいは②式に代入すると、 $y$ が求まります。
どちらに代入してもかまいません。
②式に代入すると、
$$\begin{eqnarray}y &=& (-1)-4 \\y &=& -5\end{eqnarray}$$
よって
$\left\{ \begin{array}{@{}1} x=-1\\ y=-5 \end{array} \right.$

代入するときは、必ず（　）をつけます。
符号ミスを防ぐためです。

代入のための等式の変形

例題２

次の連立方程式を代入法で解きなさい。
$\left\{ \begin{array}{@{}1} -2x+5y=11\\ 5x-2y=4\end{array} \right.$

解説

これ、加減法で解いてはいけないんですか？？？

高校入試では、解き方に指定がつくことはほぼないと言えます。
加減法でも代入法でも好きに解けばいいんです。
なんとなくあてはめたら解が見つかった！でもかまいません。

しかし、中学の定期テストなどで、解法が指定されたならば、
指示に従って解くしかないですね・・・

ということで、ここでは代入法で解きましょう。
$\left\{ \begin{array}{@{}1} -2x+5y=11・・・①\\ 5x-2y=4・・・② \end{array} \right.$

２つある式のうち、どちらの式でもかまいません。
$x=~$ の形に、あるいは $y=~$ の形に変形します。

①式を $x=~$ に変形します。

$$\begin{eqnarray}-2x+5y &=& 11 \\-2x &=& -5y+11 \\x &=& 2.5y-5.5\end{eqnarray}$$
これを、②式に代入します。

$$\begin{eqnarray}5x-2y &=& 4 \\5×(2.5y-5.5)-2y &=& 4 \\10.5y-27.5 &=& 4 \\10.5y &=& 31.5 \\y &=& 3\end{eqnarray}$$
これを①式あるいは②式に代入すると、 $x$ が求まります。
どちらに代入してもかまいません。

①式に代入すると
$$\begin{eqnarray}-2x+5y &=& 11 \\-2x+5×3 &=& 11 \\-2x &=& -4 \\x &=& 2\end{eqnarray}$$
よって
$\left\{ \begin{array}{@{}1} x=2\\ y=3 \end{array} \right.$

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