【中学数学】1次関数　式の決定

1次関数の式の決定の問題

例題

以下のような直線の式を求めなさい。
（１）傾きが $3$ で、切片が $-2$ の直線。
（２）傾きが $-1$ で、$(1,4)$ を通る直線。
（３）$(2,2)$ を通り、切片が $4$ の直線。
（４）$2$ 点 $(1,6)$,$(-3,-2)$ を通る直線。

結局、傾きと切片を求めるのだ！

はじめてだと、何をしたらいいのか分からない、となる問題ですが、
「直線の式」といわれたら,　$y=ax+b$ なのです。
これはまず丸暗記です。
そして、
$y=x+1$ だったり、$y=-2x+3$ だったり, $y=x-5$ だったりする無数の直線の中から
$1$ つに決定せよ、という問題なのです。

つまり、直線の式を求めよ、という出題は
$y=ax+b$ の
$a$ と $b$ を求めよ
という問題なんだと理解しましょう（暗記でかまいません）。

$a$ が傾き、あるいは変化の割合
$b$ が切片

この基本用語もしっかりと暗記しましょう。

1次関数の式 $y=ax+b$ に代入

で、具体的にどうやって解いていくのか。

ずばり、
問題文で与えられた情報を $y=ax+b$ に代入します。
代入する順序は、
１、$a$ や $b$
２、通る点

の順です。
最終目標は $a$ や $b$ を求めることなんですが、
その $a$ や $b$ をいきなり教えてくれることがあるんです。
そんなときは、当然、求める式 $y=ax+b$ に代入します。
答えの一部が分かったわけですから。

通る点を代入するのはその後です。

代入をした結果、 $a$ や $b$ の $1$ 次方程式か連立方程式になるので、
それを解きます。

実際に解法を見ていくことで身につけていきましょう。

傾きと切片を与えられた

（１）傾きが $3$ で、切片が $-2$ の直線の式を求めよ。

傾きとは、$a$
切片とは、$b$
のことです。ただの暗記です。
よって、求める直線の式である、$y=ax+b$ に
$a=3$、$b=-2$ を代入します。
よって、求める直線の式は、$y=3x-2$　です。
簡単すぎて逆にとまどってしまいますね・・・

傾きと通る点を与えられた

（２）傾きが $-1$ で、$(1,4)$ を通る直線の式を求めよ。

傾きとは、$a$
なので、求める直線の式である、$y=ax+b$ に
$a=-1$ を代入すると
$y=-x+b$・・・①
となります。あとは $b$ が求まればよいのです。
直線が通る点 $(1,4)$ を①式に代入すると
$4=-1+b$
これを解いて、 $b=5$
より、 求める直線の式は、$y=-x+5$ です。

切片と通る点を与えられた

（３）$(2,2)$ を通り、切片が $4$ の直線の式を求めよ。

例題 $2$ とほぼ同じ解法になることが予想できますね。
切片とは、$b$
なので、求める直線の式である、$y=ax+b$ に
$b=4$ を代入すると
$y=ax+4$・・・①
となります。あとは $a$ が求まればよいのです。
直線が通る点 $(2,2)$ を①式に代入すると
$2=a×2+4$
これを解いて、 $a=-1$
より、 求める直線の式は、$y=-x+4$ です。

通る２点を与えられた

（４）$2$ 点 $(1,6)$,$(-3,-2)$ を通る直線の式を求めよ。

通る点は、直線の式 $y=ax+b$ に代入します。

$(1,6)$ を代入すると
$6=a+b$・・・①

$(-3,-2)$ を代入すると
$-2=-3a+b$・・・②

①と②を $a$ と $b$ の連立方程式として解きます。

$\left\{ \begin{array}{@{}1} 6=a+b\\ -2=-3a+b \end{array} \right.$
これを解いて
$\left\{ \begin{array}{@{}1} a=2\\ b=4 \end{array} \right.$
と求まりました。
最終目標は、直線の式 $y=ax+b$ なので、
$y=2x+4$ です。

以上 $4$ パターンですべてです。
よく練習しておきましょうね。

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