中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】1次関数 式の決定

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1次関数の式の決定の問題

例題

以下のような直線の式をもとめなさい。
(1)傾きが \(3\) で、切片が \(-2\) の直線。
(2)傾きが \(-1\) で、\((1,4)\) を通る直線。
(3)\((2,2)\) を通り、切片が \(4\) の直線。
(4)2点 \((1,6)\),\((-3,-2)\) を通る直線。

結局、傾きと切片を求めるのだ!

はじめてですと、何をしたらいいのか分からない、となる問題ですが、
「直線の式」といわれたら, \(y=ax+b\) なのです。
これはまず丸暗記です。
そして、
\(y=x+1\) だったり、\(y=-2x+3\) だったり, \(y=x-5\) だったりする無数の直線の中から
\(1\) つに決定せよ、という問題なのです。

つまり、直線の式を求めよ、という出題は
\(y=ax+b\) の
\(a\) と \(b\) を求めよ
という問題なんだと理解しましょう(暗記でかまいません)。

\(a\) が傾き、あるいは変化の割合
\(b\) が切片

この基本用語もしっかりと暗記しましょう。

1次関数の式 \(y=ax+b\) に代入

で、具体的にどうやって解いていくのか。

ずばり、
問題文で与えられた情報を \(y=ax+b\) に代入します。
代入する順序は、
1、\(a\) や \(b\)
2、通る点

の順です。
最終目標は \(a\) や \(b\) を求めることなんですが、
その \(a\) や \(b\) をいきなり教えてくれることがあるんです。
そんなときは、当然、求める式 \(y=ax+b\) に代入します。
答えの一部が分かったわけですから。

通る点を代入するのはその後です。

代入をした結果、 \(a\) や \(b\) の \(1\) 次方程式か連立方程式になるので、
それを解きます。

実際に解法を見ていくことで身につけていきましょう。

傾きと切片を与えられた

(1)傾きが \(3\) で、切片が \(-2\) の直線の式を求めよ。

傾きとは、\(a\)
切片とは、\(b\)
のことです。ただの暗記です。
よって、求める直線の式である、\(y=ax+b\) に
\(a=3\) \(b=-2\) を代入します。
よって、求める直線の式は、\(y=3x-2\) です。
簡単すぎて逆にとまどってしまいますね・・・

傾きと通る点を与えられた

(2)傾きが \(-1\) で、\((1,4)\) を通る直線の式を求めよ。

傾きとは、\(a\)
なので、求める直線の式である、\(y=ax+b\) に
\(a=-1\) を代入すると
\(y=-x+b…①\)
となります。あとは \(b\) が求まればよいのです。
直線が通る点 \((1,4)\) を①式に代入すると
\(4=-1+b\)
これを解いて、 \(b=5\)
より、 求める直線の式は、\(y=-x+5\) です。

切片と通る点を与えられた

(3)\((2,2)\) を通り、切片が \(4\) の直線の式を求めよ。

例題 \(2\) とほぼ同じ解法になることが予想できますね。
切片とは、\(b\)
なので、求める直線の式である、\(y=ax+b\) に
\(b=4\) を代入すると
\(y=ax+4…①\)
となります。あとは \(a\) が求まればよいのです。
直線が通る点 \((2,2)\) を①式に代入すると
\(2=a×2+4\)
これを解いて、 \(a=-1\)
より、 求める直線の式は、\(y=-x+4\) です。

通る2点を与えられた

(4)2点 \((1,6)\),\((-3,-2)\) を通る直線の式を求めよ。

通る点は、直線の式 \(y=ax+b\) に代入します。

\((1,6)\) を代入すると
\(6=a+b・・・①\)

\((-3,-2)\) を代入すると
\(-2=-3a+b・・・②\)

①と②を \(a\) と \(b\) の連立方程式として解きます。

$\left\{ \begin{array}{@{}1} 6=a+b\\ -2=-3a+b \end{array} \right. $
これを解いて
$\left\{ \begin{array}{@{}1} a=2\\ b=4 \end{array} \right. $
と求まりました。
最終目標は、直線の式 \(y=ax+b\) なので、
\(y=2x+4\) です。

以上 \(4\) パターンですべてです。
よく練習しておきましょうね。

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