【中学数学】証明・平行四辺形の性質の利用

平行四辺形の性質

証明の問題に、平行四辺形がでてくることがあります。
このとき、平行四辺形には以下の $4$ つが成り立っていることは
暗黙の前提です。証明なしで使って構いません。

・$2$ 組の対辺がそれぞれ平行
・$2$ 組の対辺がそれぞれ等しい
・$2$ 組の対角がそれぞれ等しい
・対角線がそれぞれの中点で交わる

例題１

下の図で、、平行四辺形 $ABCD$ の辺 $AD,BC$ 上に $ED=FB$ となる点 $E,F$ をとる。
このとき、$AF=CE$ となることを証明しなさい。

解説

線分の長さが等しいことを示したいとき、
示すための根拠の第一候補は、その線分を含む三角形の合同でしたね。
$AF,CE$ を含む三角形は、$\triangle ABF , \triangle CDE$ です。
見た感じでも $\triangle ABF \equiv \triangle CDE$ ですね。

本当に合同なのか、等しい辺、角を入れていきましょう。
仮定より $BF=DE$
平行四辺形の対辺なので、 $AB=CD$
平行四辺形の対角なので、 $\angle ABF=\angle CDE$

$2$ 辺とその間の角が等しいですね。
これを証明にまとめます。
※ほとんど上の文そのままの証明になりますね。

解答

$\triangle ABF$ と $\triangle CDE$ において
仮定より $BF=DE$ ・・・①
平行四辺形の対辺なので、 $AB=CD$　・・・②
平行四辺形の対角なので、 $\angle ABF=\angle CDE$　・・・③
①、②、③より $2$ 辺とその間の角が等しいから
$\triangle ABF \equiv \triangle CDE$
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので
$AF=CE$

例題２

下の図で、、平行四辺形 $ABCD$ の対角線 $AC,BD$ の交点を $O$ とし、 $O$ を通る直線と辺 $AB,CD$ との交点をそれぞれ $E,F$ とする。このとき、$AE=CF$ となることを証明しなさい。

解説

線分の長さが等しいことを示したいので、上と同様です。
$AE,CF$ を含む三角形は、$\triangle AEO , \triangle CFO$ です。

本当に合同なのか、等しい辺、角を入れていきましょう。
平行四辺形の対角線は中点で交わるので、 $OA=OC$
平行線の錯角なので、 $\angle OAE=\angle OCF$
対頂角なので、 $\angle EOA=\angle FOC$

$1$ 辺とその両端の角が等しいですね。
これを証明にまとめます。

解答

$\triangle AEO$ と $\triangle CFO$ において
平行四辺形の対角線は中点で交わるので、 $OA=OC$　・・・①
平行線の錯角なので、 $\angle OAE=\angle OCF$　・・・②
対頂角なので、 $\angle EOA=\angle FOC$　・・・③
①、②、③より $1$ 辺とその両端の角が等しいから
$\triangle AEO \equiv \triangle CFO$
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので
$AE=CF$