【中学数学】平行四辺形になることの証明・その３

例題１

平行四辺形 $ABCD$ の辺 $AB,BC,CD,DA$ の中点をそれぞれ $E,F,G,H$ とします。
線分 $AG,EC$ と線分 $HB$ との交点をそれぞれ $P,Q$ とし、
線分 $AG,EC$ と線分 $DF$ との交点をそれぞれ $S,R$ とするとき、
四角形 $PQRS$ は平行四辺形であることを証明しなさい。

解説

平行四辺形になるための $5$ 条件を暗記し、
どれに該当するのか、探っていきます。

辺の長さ、角の大きさが等しいことを示すのはかなり難しそうです。
もちろん対角線もあらかじめ与えられていません。

残っているのは
・$2$ 組の対辺がそれぞれ平行
です。

下図の $2$ つが平行四辺形であることを示せば、
「$2$ 組の対辺がそれぞれ平行」と言えます。

どちらも、
「$1$ 組の対辺が平行でその長さが等しい」ことから、
平行四辺形であると示せます。

解答

四角形 $ABCD$ が平行四辺形なので、$HD /\!/ BF$ ・・・①
四角形 $ABCD$ が平行四辺形なので、$AD = BC$ ・・・②
仮定より点 $H,F$ は中点なので、これと②より
$HD=BF$ ・・・③
①、③より、$1$ 組の対辺が平行で、その長さが等しいので、
四角形 $HBFD$ は平行四辺形である。
同様に四角形 $AECG$ も平行四辺形である。

平行四辺形 $HBFD$ の対辺なので、$PQ /\!/ SR$ ・・・④
平行四辺形 $AECG$ の対辺なので、$PS /\!/ QR$ ・・・⑤
④、⑤より、$2$ 組の対辺がそれぞれ平行なので、
四角形 $PQRS$ は平行四辺形である。

例題２

平行四辺形 $ABCD$ の辺 $AB,BC,CD,DA$ の中点をそれぞれ $E,F,G,H$ とします。
このとき、四角形 $EFGH$ は平行四辺形であることを証明しなさい。

解説

平行四辺形になるための $5$ 条件のどれに該当するのか。
辺の長さ、角の大きさ、対辺が平行であること・・・
どれを示すことができそうしょうか？

とりあえず、下のクリーム色の三角形の合同を示すことで、
$FE=HG$ がいえます。

さらに 平行 $FE /\!/ HG$ が言えれば、「$1$ 組の対辺が平行で、その長さが等しい」
なのですが・・・
平行であることを示すためには、
同位角か錯角が等しいことを言わないとなりません。
例えば下図の錯角が等しいことを言えそうでしょうか。

なかなか難しそうです。
簡単には言えなそうですね。

もう $1$ 組の三角形の合同から解決します。
下の紫色の三角形の合同を示すことで、
$EH=GF$ が言えます。

つまり、$2$ 組の対辺がそれぞれ等しいから
四角形 $EFGH$ は平行四辺形であると言えます。

解答

$\triangle EBF$ と $\triangle GDH$ において
四角形 $ABCD$ が平行四辺形なので、$AD = BC$ ・・・①
仮定より点 $H,F$ は中点なので、これと①より
$HD=BF$ ・・・②
四角形 $ABCD$ が平行四辺形なので、$AB = DC$ ・・・③
仮定より点 $E,G$ は中点なので、これと③より
$EB=GD$ ・・・④
四角形 $ABCD$ が平行四辺形なので、$\angle EBF=\angle GDH$ ・・・⑤
②、④、⑤より、$2$ 辺とその間の角それぞれ等しいので、
$\triangle EBF \equiv \triangle GDH$
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、
$FE = HG$ ・・・⑥
同様に $\triangle AEH \equiv \triangle CGF$ であり
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、
$EH = GF$ ・・・⑦
⑥、⑦より、$2$ 組の対辺がそれぞれ等しいので、
四角形 $EFGH$ は平行四辺形である。

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