【中学数学】証明・二等辺三角形の性質の利用

証明問題で二等辺三角形があるとき

証明問題で二等辺三角形があるとき、
どの $2$ 辺が等しい二等辺三角形なのか、情報が与えられます。
そのとき、
「二等辺三角形なので、底角は等しい」
は証明なしで使ってＯＫです。
どこが底角なのか、底角とは何か、一切説明する必要はありません。

例題１

下の図で、$\triangle ABC$ は $AB=AC$ の二等辺三角形である。$BC$ を $3$ 等分する点を、$D,E$ とするとき、$AD=AE$ になることを証明せよ。

$中学数学・高校受験chu-su- 証明　二等辺三角形の性質の利用　図１－１$

解説

三角形の合同を証明することで、その対応する辺が等しいことを言えます。
この証明の定番パターンは以前に学習していますね。

$AD,AE$ をそれぞれ辺とする三角形を探しましょう。
そしてそれらは合同であると言えそうでしょうか？

$\triangle ABD$ と $\triangle ACE$ ですね！

$中学数学・高校受験chu-su- 証明　二等辺三角形の性質の利用　図１－2$

赤い角、辺は、$\triangle ABC$ が二等辺三角形であることから言えます。
青い辺は仮定です。$BC$ を $3$ 等分しています。
つまり、$2$ 辺とその間の角がそれぞれ等しいことから、合同が言えます！

解答

$\triangle ABD$ と $\triangle ACE$ において、
仮定より、$BD=CE$ ・・・①
仮定より、$AB=AC$ ・・・②
$\triangle ABC$ は二等辺三角形なので、底角は等しいから
$\angle ABD=\angle ACE$ ・・・③
①、②、③より、
$2$ 辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
$\triangle ABD \equiv \triangle ACE$
よって、合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、
$AD=AE$

参考

$AD=AE$ ということは、$ADE$ が二等辺三角形であるということです。

つまり、
$ADE$ が二等辺三角形であることを示し、
よって、$AD=AE$ と結論に至る。

このような証明の流れもありです。
では、$ADE$ が二等辺三角形であることはどうやって示せばいいのでしょうか。

底角が等しいことを示す以外ありえません。
$\angle ADE=\angle AED$
を示せれば、$ADE$ が二等辺三角形であるといえます。

ではどうやって、$\angle ADE=\angle AED$ を示すことができるか。
結局、$\triangle ABD \equiv \triangle ACE$ から、その外角が等しいことをいう
しかないでしょう。

うーん・・・ずいぶん回り道ですね。

例題２

下の図のような $AB=AC$ の二等辺三角形で、辺 $AB,AC$ 中点を $M,N$ とする。このとき、$MC=NB$ を証明しなさい。

$中学数学・高校受験chu-su- 証明　二等辺三角形の性質　２－１$

解説

最終目標の $MC=NB$ 、ですが、
やはりこの $2$ つが「合同な三角形の対応する辺」になっているはずです。
この解法が有力な第一候補です。

$MC$ や $NB$ を辺とする三角形は、$\triangle MBC$ や $\triangle NCB$ なので、
$\triangle MBC$ ≡ $\triangle NCB$
が証明できればよさそうです。
合同条件にあてはまるかどうか、見ていきましょう。

$MB=NC$ と $\angle MBC=\angle NCB$ は
仮定である $\triangle ABC$ が二等辺三角形であることからいえます。
また、辺 $BC$ は共通なので、
以上で、$2$ 辺とその間の角が等しいことから合同がいえます。
解答に仕上げましょう。

$中学数学・高校受験chu-su- 証明　二等辺三角形の性質　２－2$

解答

$\triangle MBC$ と $\triangle NCB$ において、
$MB=AB×\displaystyle \frac{1}{2}$ ・・・①
$NC=AC×\displaystyle \frac{1}{2}$ ・・・②
仮定より、$AB=AC$ なので、①、②より、
$MB=NC$ ・・・③
$\triangle ABC$ は二等辺三角形なので、底角は等しいから
$\angle MBC=\angle NCB$ ・・・④
共通なので、$BC=CB$・・・⑤
③、④、⑤より、
$2$ 辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
$\triangle MBC \equiv \triangle NCB$
よって、合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、
$MC=NB$