【中学数学】1次関数　動点

例題１

下の図の長方形 $ABCD$ の辺上を、点 $P$ が $B$ を出発し、$C,D$ を通って $A$ まで、$1$ 秒間に $1cm$ の一定の速さで動きます。点 $P$ が出発してから　$x$ 秒後の三角形 $ABP$ の面積を $ycm^2$ とします。次の問いに答えなさい。

（１）点 $P$ が$BC$ 上を動くとき、$y$ を $x$ の式で表しなさい。また、$x$ の変域を求めなさい。
（２）点 $P$ が $CD$ 上を動くとき、$y$ を $x$ の式で表しなさい。また、$x$ の変域を求めなさい。
（３）点 $P$ が $DA$ 上を動くとき、$y$ を $x$ の式で表しなさい。また、$x$ の変域を求めなさい。
（４）点 $P$ が $B$ から $A$ まで動くとき、$y$ と $x$ の関係を表すグラフをかきなさい。

解説

動点の問題は、一度じっくりと向き合って、完璧に理解することが重要です。
そして、ポイントをつかんでさえしまえば、今後はスラスラと解くことができるようになります。
とにかく一度、じっくりとゆっくりと、完璧な理解を目指しましょう。

（１）点 $P$ が$BC$ 上を動くとき、$y$ を $x$ の式で表しなさい。また、$x$ の変域を求めなさい

まず、この問題で何が起こっているのか、何が問われているのか、を把握しましょう。
点 $P$ が出発してから、$1$ 秒後、$2$ 秒後、$3$ 秒後・・・と図示してみましょう。

$P$ が時間とともに、右に移動していき、三角形 $ABP$ の面積がどんどん増えていっている様子がわかります。$8$ 秒後、点 $C$ につくまでをグラフに表してみましょう。
グラフをかくのは（４）ですが、そんな順番なんて関係ありません。どんどんグラフをかいてしましましょう。$x=0$ のとき、$y=0$ もあたりまえですね。

これらの点は、直線で結んでしまってよいですね。
つまり、三角形 $ABP$ の面積は、一定の割合で増加しているということです。

この直線の式を求めれば、これが（１）の答えになります。

傾きは $2$、切片は $０$ なので、$y= 2x$, $0 \leqq x \leqq 8$
と求まりました。

別解

ちなみに、次のような解法もあります。とても大事ですので必ずこちらも理解しておいてください。
$x$ 秒後の三角形 $ABP$ の底辺は、$xcm$ なので、このときの　面積 $y$ は
$y=x×4÷2=2x$
グラフから得た式と、まったく同じ式が得られましたね。

（２）点 $P$ が $CD$ 上を動くとき、$y$ を $x$ の式で表しなさい。また、$x$ の変域を求めなさい

点 $P$ が $CD$ 間を動くときの図示をしてみましょう。

この間は、面積が一定 $16cm^2$ で変化ありません。これをグラフにかき足します。
このグラフの式は、$y=16$ 、$8 \leqq x \leqq 12$です。

（３）点 $P$ が $DA$ 上を動くとき、$y$ を $x$ の式で表しなさい。また、$x$ の変域を求めなさい

点 $P$ が $DA$ 間を動くときの図示をしてみましょう。

時間とともに、面積が減少していくことがわかりますね。これをグラフにかき足します。
このグラフの式は、$y=-2x+40$ 、$12 \leqq x \leqq 20$です。
式の求め方は大丈夫ですか？直線が通る点が２つわかれば、求められますね。

別解

ちなみに、次のような解法もあります。とても大事ですので必ずこちらも理解しておいてください。
$x$ 秒後の三角形 $ABP$ の底辺は、下図の紫色の箇所です。この長さを求めます。
求め方は２通りあります。

解法１

赤＋紫を求めます。
この長さは長方形の、よこ、たて、よこの和であり、$8+4+8=20cm$です。
赤い長さは、点 $P$ が $x$ 秒で動いた距離であり、 $xcm$ です。
よって、紫の長さは、$20-x(cm)$ と求まります。

解法２

$PD$ の長さは、$x-(8+4)=x-12(cm)$ です。
よって、紫の長さは、$8-(x-12)=20-x(cm)$ と求まります。

よって、三角形 $ABP$ の面積 $y$ は
$y=(20-x)×4÷2=-2x+40$
グラフから得た式と、まったく同じ式が得られましたね。

（４）点 $P$ が $B$ から $A$ まで動くとき、$y$ と $x$ の関係を表すグラフをかきなさい

グラフはすでに（３）の解説の中で示した通りです。

動点の解法のまとめ

上で学習したことのポイントをまとまめす。

これが最速解答です。
つまり、点 $P$ が各頂点に来たときのみを調べればＯＫです。

しかし、道中が曲線になる問題も中学３年生以降には出てきますので、
一定の割合で増えているか、減っているか、ある程度調べるくせはつけておきましょうね。

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