中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】確率・カードで整数をつくる

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例題1

\(1,2,3,4\) の \(4\) 枚のカードがある。この中から連続して \(2\) 枚をひき、\(1\) つを十の位の数、もう \(1\) つを一の位の数として \(2\) けたの数をつくる。
このとき次の確率を求めなさい。

① できた数が、奇数である確率
② できた数が、\(3\) の倍数である確率

解説

当然、樹形図をかきます。

中学数学・高校受験chu-su- 確率 カードを並べる 樹形図1

すべての場合の数は、\(12\) 通りです。

① できた数が、奇数である確率

奇数になるのは赤丸の \(6\) 通りです。
よって、もとめる確率は、\(\displaystyle \frac{6}{12}=\displaystyle \frac{1}{2}\) です。

できた数が、3の倍数である確率

②\(3\) の倍数になるのは青丸の \(4\) 通りです。
よって、もとめる確率は、\(\displaystyle \frac{4}{12}=\displaystyle \frac{1}{3}\) です。

例題2

\(1,2,3,4,5\) の \(5\) 枚のカードが箱の中にある。この箱の中から \(1\) 枚をひき、箱の中に戻します。続いて箱の中から \(1\) 枚を引きます。はじめにひいたカードにかいてあった数を十の位、次にひいたカードにかいてあった数を一の位として \(2\) けたの数をつくるとき、できた \(2\) けたの数が \(3\) の倍数である確率を求めなさい。

解説

当然、樹形図をかきます。

中学数学・高校受験chu-su- 確率 カードを並べる 樹形図2

すべての場合の数は、\(25\) 通りです。
\(3\) の倍数になるのは●丸の \(9\) 通りなので
よって、もとめる確率は、\(\displaystyle \frac{9}{25}\) です。

考察

 
\(25\) 通りのかき出しをするくらい嫌がっていてはいけません。
しかし、ある程度かき出しに慣れてきたら、省略できるところは省略して構いません。

たとえば、すべての場合の数は、\(25\) 通りが、\(5×5=25\) と求まることが確信を持てるのならば、
上の樹形図の全かきだしをしなくてもよいでしょう。
どうしたら確信が持てるのか?
樹形図のかき出しをたくさん経験することによって、「上の樹系図が頭の中に描ける能力を持つ」ことができたらです。
結局、樹形図以外の解法がありません。それを肝に銘じてください。

その後は \(3\) の倍数のかきだしです。
\(12,15,21,14,33,42,45,51,54\) と順にかきだしをします。

これは省略できません。

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