中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】平行四辺形になることの証明・その3

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例題1

平行四辺形 \(ABCD\) の辺 \(AB,BC,CD,DA\) の中点をそれぞれ \(E,F,G,H\) とします。
線分 \(AG,EC\) と線分 \(HB\) との交点をそれぞれ \(P,Q\) とし、
線分 \(AG,EC\) と線分 \(DF\) との交点をそれぞれ \(S,R\) とするとき、
四角形 \(PQRS\) は平行四辺形であることを証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形であることの証明 図5-1

解説

平行四辺形になるための \(5\) 条件を暗記し、
どれに該当するのか、探っていきます。

辺の長さ、角の大きさが等しいことを示すのはかなり難しそうです。
もちろん対角線もあらかじめ与えられていません。

残っているのは
\(2\) 組の対辺がそれぞれ平行
です。

下図の \(2\) つが平行四辺形であることを示せば、
\(2\) 組の対辺がそれぞれ平行といえます。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形であることの証明 図5-2

どちらも、
\(1\) 組の対辺が平行でその長さが等しいことから、
平行四辺形であると示せます。

解答

四角形 \(ABCD\) が平行四辺形なので、\(HD /\!/ BF\) ・・・①
四角形 \(ABCD\) が平行四辺形なので、\(AD = BC\) ・・・②
仮定より点 \(H,F\) は中点なので、これと②より
\(HD=BF\) ・・・③
①、③より、\(1\) 組の対辺が平行で、その長さが等しいので、
四角形 \(HBFD\) は平行四辺形である。
同様に四角形 \(AECG\) も平行四辺形である。

平行四辺形 \(HBFD\) の対辺なので、\(PQ /\!/ SR\) ・・・④
平行四辺形 \(AECG\) の対辺なので、\(PS /\!/ QR\) ・・・⑤
④、⑤より、\(2\) 組の対辺がそれぞれ平行なので、
四角形 \(PQRS\) は平行四辺形である。

例題2

平行四辺形 \(ABCD\) の辺 \(AB,BC,CD,DA\) の中点をそれぞれ \(E,F,G,H\) とします。
このとき、四角形 \(EFGH\) は平行四辺形であることを証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形であることの証明 図6-1

解説

平行四辺形になるための \(5\) 条件のどれに該当するのか。
辺の長さ、角の大きさ、対辺が平行であること・・・
どれを示すことができそうしょうか?

とりあえず、下のクリーム色の三角形の合同を示すことで、
\(FE=HG\) がいえます。
中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形であることの証明 図6-2
さらに 平行 \(FE /\!/ HG\) がいえれば、\(1\) 組の対辺が平行で、その長さが等しい
なのですが・・・
平行であることを示すためには、
同位角か錯角が等しいことをいわないとなりません。
例えば下図の錯角が等しいことをいえそうでしょうか。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形であることの証明 図6-3

なかなか難しそうです。
簡単には言えなそうですね。

もう \(1\) 組の三角形の合同から解決します。
下の紫色の三角形の合同を示すことで、
\(EH=GF\) がいえます。
中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形であることの証明 図6-4

つまり、\(2\) 組の対辺がそれぞれ等しいから
四角形 \(EFGH\) は平行四辺形であるといえます。

解答

\(\triangle EBF\) と \(\triangle GDH\) において
四角形 \(ABCD\) が平行四辺形なので、\(AD = BC\) ・・・①
仮定より点 \(H,F\) は中点なので、これと①より
\(HD=BF\) ・・・②
四角形 \(ABCD\) が平行四辺形なので、\(AB = DC\) ・・・③
仮定より点 \(E,G\) は中点なので、これと③より
\(EB=GD\) ・・・④
四角形 \(ABCD\) が平行四辺形なので、\(\angle EBF=\angle GDH\) ・・・⑤
②、④、⑤より、\(2\) 辺とその間の角それぞれ等しいので、
\(\triangle EBF \equiv \triangle GDH\)
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、
\(FE = HG\) ・・・⑥
同様に \(\triangle AEH \equiv \triangle CGF\) であり
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、
\(EH = GF\) ・・・⑦
⑥、⑦より、\(2\) 組の対辺がそれぞれ等しいので、
四角形 \(EFGH\) は平行四辺形である。

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