中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

作図・線分の3等分

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問題

下の図の線分 \(AB\) を、 \(1:2\) の比に分ける点 \(P\) を作図しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 線分の3等分 図1

解説

有名な作図です。
何も知らない状態で、この作図方法を思いつくのは至難です。
解説を読んで理解・暗記しましょう。

ずばり、作図方針は「相似の利用」です。
ピラミッド型の三角形を利用します。

下図のような図が目標です。

中学数学・高校受験chu-su- 線分の3等分 図2

どうやって作図するのかは、後の話です。
今は、\(P\) が、\(AB\) を \(1:2\) に分けていることを理解しましょう。

では作図方法です。
まず、線分 \(AC\) をひきます。
\(C\) はどこであってもかまいませんが
下図くらいが、後の作図がやりやすいです。

中学数学・高校受験chu-su- 線分の3等分 図3

次に、コンパスを用いて、線分 \(AC\) 上に
等しい長さを \(3\) つとります。
下の図で、\(AQ=QR=RS\) です。
\(AQ\) の長さも、どれくらいであってもかまいません。
\(3\) つの長さが等しいことが重要で、その長さはいくつであってもOKです。

中学数学・高校受験chu-su- 線分の3等分 図4

\(S\) と \(B\) を結びます。
この \(SB\) と平行で \(Q\) を通る平行線を引けば作図完了です。
\(AB\) との交点が点 \(P\) の位置です。

中学数学・高校受験chu-su- 線分の3等分 図5

※平行線の作図は、ひし形の作図です。
\(BS\) を上に延長、
\(BQ\) を半径とする円を用いて、
\(BQ\) を \(1\) 辺とするひし形を作図することで、
平行線の作図ができます。

中学数学・高校受験chu-su- 線分の3等分 図6

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