中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

円錐と内接球・その1

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問題

下の図のように、底面の半径が \(28cm\),母線の長さが \(100cm\) の円錐に
球が内接しています。この球の半径を求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 円錐と内接球 図1-2

解説

平面における、「三角形と内接円の関係」とほぼ同じです。
空間図形においても、着目すべき「平面」で解きます。
どの平面に着目すべきか考えましょう。

もちろん下の図のような、三角形 \(PAB\) に着目します。
\(AB\) は底面の円の直径で、底面の円の中心が \(M\) です。

中学数学・高校受験chu-su- 円錐と内接球 図2-2

三角形 \(PAB\) をぬき出します。
この平面上、さらに、線分 \(PM\) 上に球の中心 \(O\) があります。
対称性から明らかですね。

この平面で、球は切られますが、その切断面は
中心 \(O\) を含む円になります。

そして、円と接線があれば、中心と接点を結ぶのが必須知識です。

中学数学・高校受験chu-su- 円錐と内接球 図3

他にわかることは、三角形 \(PBM\) に三平方の定理を用いて
\(PM\) の長さを求めることです。
\(PB:BM=100:28=25:7\)
なので、
\(\displaystyle \frac{1}{4}\) 倍に縮小した直角三角形で計算すると、
\(x^2+7^2=25^2\)
\(x\) は \(0\) より大きいので、
\(x=24\)
と求まります。
つまり、\(PM=24×4=96\) です。

中学数学・高校受験chu-su- 円錐と内接球 図4

ここから先は、\(2\) 通りの解き方があります。
「相似」か「三平方の定理」です。
「相似」が圧倒的に楽なので、そちらを使いましょう。

三角形 \(PMB\) と三角形 \(PNO\) が相似です。
三角形 \(PNO\) を三角形 \(PMB\) と同じ向きにぬきだして考えましょう。

中学数学・高校受験chu-su- 円錐と内接球 図5

この\(2\) つの三角形は相似であり、直角をはさむ \(2\) 辺の辺の比が
\(24:7\) です。
※相似比ではないですよ!

よって\(r=NO=72×\displaystyle \frac{7}{24}=21(cm)\)
これが求める内接円の半径です。

ちなみに、
\(PO=96-21=75\)
ですが、三角形 \(PNO\) の辺の比が \(25:24:7\) であることと一致します。
矛盾なしです。

※三角形 \(PMB\) と三角形 \(PNO\) が相似で相似比が \(96:72=4:3\) からも、もちろん解けます。

\(r=NO=28×\displaystyle \frac{3}{4}=21(cm)\)

と求まります。

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