中学数学の基本から難問までの問題と分かりやすい解説を掲載した完全無料のオンライン学習ページです。

1次関数と正方形

問題

①は \(y=-x+12\)、②は \(y=\displaystyle \frac{1}{2}x+2\) のグラフであり、②の上に点 \(P\) をとります。ただし、点 \(P\) の \(x\) 座標は \(-4\) より大きく、\(\displaystyle \frac{20}{3}\) より小さいです。
点 \(P\) を通り \(y\) 軸と平行な直線と \(x\) 軸との交点を \(Q\) 、
点 \(P\) を通り \(x\) 軸と平行な直線と ①との交点を \(R\) 、
点 \(R\) を通り \(y\) 軸と平行な直線と \(x\) 軸との交点を \(S\) とします。
四角形 \(PQSR\) が正方形となるとき、\(P\) の \(x\) 座標を求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 一次関数と正方形 図1

解説

求めるものを文字でおき、方程式をたてて解く。

これが中学数学の王道です。

この王道の解法をまずはマスターしましょう。
様々な問題で使える万能の解法です。

しかし・・・

それだけで満足しないでください。

「図形的性質を利用する別解」もあります。
とてもとても重要な解法です。

中学数学で、さらなる上を目指すときに立ちはだかる壁が、
この「図形」なのです。

関数の問題においても、座標平面上で図形の問題を解いているだけ、
という側面もあり、図形問題として処理できるかどうかが問われている難問も
存在します。

解法1 座標を文字でおく

\(P\) の \(x\) 座標を求めるのですから、
\(P\) の \(x\) 座標を文字でおく、
というのは自然な発想です。

\(P\) の \(x\) 座標を \(t\) としてみましょう。
すると、様々なものが \(t\) を用いて表せます。
この問題では、四角形 \(PQSR\) が正方形かどうかがポイントなのですから、
正方形のたてとよこの長さを \(t\) で表したいわけです。
下図の赤い線分の長さは、\(P\) の \(y\) 座標からわかります。

青い線分の長さを知るために、点 \(R\) の座標が欲しいですね。

中学数学・高校受験chu-su- 一次関数と正方形 図2

点 \(R\) の \(y\) 座標は、点 \(P\) の \(y\) 座標と等しく \(\displaystyle \frac{1}{2}t+2\) です。

また、点 \(R\) は直線①、\(y=-x+12\) 上の点なので、 \(y\) 座標を代入して
\(x\)座標が得られます。

\(\displaystyle \frac{1}{2}t+2=-x+12\) より、

\(x=-\displaystyle \frac{1}{2}t+10\)

中学数学・高校受験chu-su- 一次関数と正方形 図3-3

よって青い線分の長さは、

\((-\displaystyle \frac{1}{2}t+10)-t=-\displaystyle \frac{3}{2}t+10\)

赤い線分の長さは、点 \(P\) の \(y\) 座標より、\(=\displaystyle \frac{1}{2}t+2\)

赤い線分と青い線部が等しくなるとき、

\(-\displaystyle \frac{3}{2}t+10=\displaystyle \frac{1}{2}t+2\)

これを解いて
\(t=4\)

これが求める点 \(P\) の \(x\)座標です。

解法2 図形的性質の利用

上のような解法は、うまい解き方が見つからないときに威力を発揮します。
ガツガツと計算さえすれば、答えが求まるのです。
必ず身につけましょう。

この解法とは別に、この問題を「図形的に」解くことも可能です。
座標平面と関数の情報を、図形的に活用するのです。

具体的には、「直線の傾き」です。
この情報を、図形的に利用しましょう。

\(直線の傾き=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}\)

なので、
①の直線の傾き \(-1\)

②の直線の傾き \(\displaystyle \frac{1}{2}\)

は、下図のようになっていることを示しています。

中学数学・高校受験chu-su- 一次関数と正方形 図4

そして、四角形 \(PQSR\) が正方形になるとき、
\(QS=t\)
また、 \(y=-x+12\)、 \(y=\displaystyle \frac{1}{2}x+2\) と \(x\) 軸との交点も
求まるので、下図のようになっています。

中学数学・高校受験chu-su- 一次関数と正方形 図5

\(x\) 軸で \(-4\) から \(12\) までの、長さ \(16\) の線分を
\(2:1:1:\) に分けています。

点 \(Q\) はこの線分の中点なので、\(2t=8\) です。
よって、点 \(Q\) の \(x\) 座標は \(-4+8=4\)
点 \(P,Q\) の\(x\)座標は等しいので、
これが求める点 \(P\) の \(x\)座標です。

スポンサーリンク





  • Facebook
  • Hatena
  • twitter
  • Google+

高校入試(高校受験)数学・対策問題







Copyright©中学数学の無料オンライン学習サイトchu-su- All Rights Reserved.