中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】展開・因数分解の利用・式の値

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例題1

次の式の値を求めなさい。
(1) \(x=81\) のとき、\(x^2-2x+1\) の式の値

(2) \(x=\displaystyle \frac{3}{7}\) のとき、\((x-3)^2-(x+3)(x+5)\) の式の値

(3) \(x=4.45\), \(y=3.55\) のとき、\(x^2-y^2\) の式の値

解説

与えられた式に、すぐに代入するのではなく、式を変形してから
代入する方が楽になることがあります。

(1) \(x=81\) のとき、\(x^2-2x+1\) の式の値

\(x^2-2x+1\)
\(=(x-1)^2\)
これに \(x=81\) を代入すると
\((81-1)^2=80^2=6400\)

(2) \(x=\displaystyle \frac{3}{7}\) のとき、\((x-3)^2-(x+3)(x+5)\) の式の値

\((x-3)^2-(x+3)(x+5)\)
\(=(x^2-6x+9)-(x^2+8x+15)\)
\(=-14x-6\)
これに \(x=\displaystyle \frac{3}{7}\) を代入すると
\(-14×\displaystyle \frac{3}{7}-6\)
\(=-6-6\)
\(=-12\)

(3) \(x=4.45\), \(y=3.55\) のとき、\(x^2-y^2\) の式の値

\(x^2-y^2\)
\(=(x+y)(x-y)\)
これに \(x=4.45\), \(y=3.55\) を代入すると
\((4.45+3.55)(4.45-3.55)\)
\(=8×0.9\)
\(=7.2\)

例題2

次の式の値を求めなさい。
\(x+y=10, xy=16\) のとき、\(x^2+y^2\) の式の値

解説

\(x^2+y^2\) は、因数分解できません。
どのように式変形をしたらよいのか。
\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) を利用します。
これは思いつくものというよりも、知識です。

この式を変形すれば、
\((x+y)^2=(x^2+y^2)+2xy\)

これに問題で与えられた値、 \(x+y=10, xy=16\) を代入すると、

\(10^2=(x^2+y^2)+2×16\)

\(100=(x^2+y^2)+32\)
よって、
\((x^2+y^2)=100-32=68\)

例題3

\(a=\sqrt{5}+2, b=\sqrt{5}-2\) のとき、次の式の値を求めなさい。

(1) \(a-b\) の式の値

(2) \(ab\) の式の値

(3) \(a^2-b^2\) の式の値

(4) \(a^2+b^2\) の式の値

解説

(1) \(a-b\) の式の値

式変形など必要ありません。直接、 \(a=\sqrt{5}+2, b=\sqrt{5}-2\) を代入しましょう。
\(\sqrt{5}+2-(\sqrt{5}-2)\)
\(=4\)

(2) \(ab\) の式の値

式変形など必要ありません。直接、 \(a=\sqrt{5}+2, b=\sqrt{5}-2\) を代入しましょう。
\((\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)\)
\(=(\sqrt{5})^2-2^2\)
\(=5-4\)
\(=1\)

(3) \(a^2-b^2\) の式の値

因数分解ができますね。
\(a^2-b^2\)
\(=(a+b)(a-b)\)
これに \(a=\sqrt{5}+2, b=\sqrt{5}-2\) を代入すると、
\(\{(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)\}\{(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2)\}\)
\(=2\sqrt{5}×4\)
\(=8\sqrt{5}\)

(4) \(a^2+b^2\) の式の値

例題2と同様の式変形の利用ですね!
覚えていましたか?
+(プラス)とー(マイナス)が違うので、そこだけ注意してください。

\((a-b)^2=(a^2+b^2)-2ab\)

これに(1)(2)で得た値、 \(a-b=4, ab=1\) を代入すると、

\(4^2=(a^2+b^2)-2×1\)

\(16=(a^2+b^2)-2\)
よって、
\((a^2+b^2)=16+2=18\)

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