中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】多項式と多項式の乗除

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分配の法則

「多項式と多項式の乗除」
いかついタイトルですが、難しく考えることはありません。
要は、「分配法則」です。

\((a+b)(x+y)=ax+ay+bx+by\)

順番にかけ算をしていくだけと覚えましょう。
このように、かっこをはずす計算をして、単項式の和の形に表すことを
「展開する」といいます。前回学習したことの再確認です。

中学数学・高校受験chu-su- 多項式と多項式の乗法 分配法則 図2

もちろん
\((a+b)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz\)
が成り立つたちます。
とにかく、順番にかけ算をしていくだけですね。

符号についての注意

負の数が入ってきたときの符号には要注意です。
\((a+b)(x-y)=ax-ay+bx-by\)
\((a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by\)

中学数学・高校受験chu-su- 多項式と多項式の乗法 分配法則 図3

同類項を上手にまとめる

「多項式×多項式」の式の展開で最も多いのが、
\((x の1次式)×(x の1次式)\) 
なのです。
具体例を見た方がいいですね。

次の式を展開しなさい。
\((2x-3)(x+1)\)

解説

もちろん順に計算していくだけなのですが、4つの単項式を横一列に並べるのではなくて
以下のようなかき方がおススメです!

中学数学・高校受験chu-su- 多項式と多項式の乗法 分配法則 図4

\((2x-3)(x+1)=2x^2-x-3\)

例題

次の式を展開しなさい。
(1) \((x+2)(x+1)\)

(2) \((3x+2y)(2x-5y)\)

(3) \((x-3y)(4x-y)\)

(4) \((x-1)(x^2+x+1)\)

解答

(1) \((x+2)(x+1)\)
\(=x^2+3x+2\)

(2) \((3x+2y)(2x-5y)\)
\(=6x^2-15xy+4xy-10y^2\)
\(=6x^2-11xy-10y^2\)

(3) \((x-3y)(4x-y)\)
\(=4x^2-xy-12xy+3y^2\)
\(=4x^2-13xy+3y^2\)

(4) \((x-1)(x^2+x+1)\)
\(=x^3+x^2+x-x^2-x-1\)
\(=x^3-1\)

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