中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】おきかえを利用する因数分解

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例題1

次の式を因数分解しなさい。
(1)\((x+3)^2-5(x+3)\)

(2)\((x+1)^2-9\)

(3)\(xy+x+y+1\)

(4)\(ab-4a-b+4\)

解説

(1)\((x+3)^2-5(x+3)\)

\(x+3=A\) とおくと

\((x+3)^2-5(x+3)\)
\(=A^2-5A\)
\(=A(A-5)\)
\(=(x+3)\{(x+3)-5\}\)
\(=(x+3)(x-2)\)

(2)\((x+1)^2-9\)

\(x+1=A\) とおくと

\((x+1)^2-9\)
\(=A^2-9\)
\(=(A+3)(A-3)\)
\(=\{(x+1)+3\}\{(x+1)-3\}\)
\(=(x+4)(x-2)\)

(3)\(xy+x+y+1\)

これは初見ではびっくりですね。
やれるところからやってみましょう。
結局は、「因数分解可能」な問題が出題されているわけですから、
式変形をいろいろ試してみれば、いつか解法が見えてくるはずです!

\(xy+x+y+1\)
\(=x(y+1)+y+1\)
ここで、\(y+1=A\) とおくと
\(=x(y+1)+y+1\)
\(=x(y+1)+(y+1)\)
\(=xA+A\)
\(=A(x+1)\)
\(=(y+1)(x+1)\)

アルファベット順に並べるのならば、
\((y+1)(x+1)\)
\(=(x+1)(y+1)\)

(4)\(2ab-8a-b+4\)

(3)と似ています。同じようにやりましょう。
\(2ab-8a-b+4\)
\(=2a(b-4)-b+4\)
次がポイントです。

\(b-4\) を共通因数にできそうだなって思えますか?
\(-b+4=-(b-4)\) です。\(-1\) でくくるのです。
さて、続けていきましょう。

\(2a(b-4)-b+4\)
\(=2a(b-4)-(b-4)\)
ここで、\(b-4=A\) とおくと
\(2a(b-4)-(b-4)\)
\(=2aA-A\)
\(=A(2a-1)\)
\(=(b-4)(2a-1)\)
\(=(2a-1)(b-4)\)

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