中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】2次方程式の解の個数

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2次方程式の解の個数

\(2\) 次方程式を解くと、解は \(2\) つでてきます。
しかし、解が \(1\) 個しかないときもありましたね。

どんなときに解が \(1\) つしかでてこないか、
覚えていますか?

解が1つの2次方程式の例

次の 方程式を解きなさい。
\(x^2-6x+9=0\)

解説

因数分解できますから、それが最速ですね。
\(x^2-6x+9=0\)
\((x-3)^2=0\)
\(x-3=0\)
\(x=3\)

平方完成すると

ちなみに、この式を平方完成すると、
当然ですが、
\((x-3)^2=0\)
になります。
\((xの1次式)^2=0\)
となる \(2\) 次方程式は、解が \(1\) しかないのです。

解が1つの2次方程式をつくる

例題

解を \(1\) つしか持たない \(2\) 次方程式は無数にあるが、
その \(1\) つを作りなさい。

解説

\((xの1次式)^2=0\)
となる \(2\) 次方程式ならば、解が \(1\) つしかないのですから、
例えば
\((x-4)^2=0\)
これは解を \(1\) つしか持たない \(2\) 次方程式です。
展開した形にすれば、
\(x^2-8x+16=0\)
となります。

これは、
\((x-4)(x-4)=0\)
という \(2\) 次方程式なので、
\(x=4\) が \(2\) 重になっています。
ダブっているという状態ですね。
ですのでこのような解を重解といいます。

例題1

\(2\) 次方程式 \(x^2+ax+36=0\) の解が \(1\) つだけであるとき、\(a\) の値を求めなさい。
ただし \(a\) は \(0\) 以上とする。

解説

解が \(1\) つだけの \(2\) 次方程式なので、
\((x\pm p)^2=0\)
の形です。
これの左辺を展開すれば
\(x^2 \pm2px+p^2=0\)
なので
\(p^2=36\)
より、
\(p =\pm6\)
よって、求める\(2\) 次方程式は
\((x+6)^2=0\)

\((x-6)^2=0\)
のどちらかです。
\(a\) が \(0\) 以上となるのは
\((x+6)^2=0\)
で、
このときは
\(x^2+12x+36=0\)
なので、
\(a=12\)
です。

例題2

\(2\) 次方程式 \(x^2+8x+b=0\) の解が \(1\) つだけであるとき、\(b\) の値を求めなさい。

解説

解が \(1\) つだけの \(2\) 次方程式なので、
\((x\pm p)^2=0\)
の形です。

\(x^2+8x+b=0\) を平方完成すれば
\((x+4)^2=0\)
となるので
※ \(x\) の \(1\) 次の係数から決まります。
\((x+4)^2=x^2+8x+16=0\)
より、
\(b=16\)

参考・解の公式による解の個数の判別

改めて、下の \(2\) 次方程式を解きましょう。
\(x^2-6x+9=0\)

このページの冒頭で出てきた \(2\) 次方程式です。
解が \(1\) つしかない具体例として登場しました。

これを、解の公式で解いみましょう。

\(x=\displaystyle \frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2-4×1×9}}{2×1}\)

分子のルートの中が \(0\) になります。
解が \(2\) つ出てくる要因が、\(\pm\) (プラスマイナス)です。
プラスのときの解と
マイナスのときの解の \(2\) つ。
ここが、\(\pm 0\) となると、解が1つになってしまうわけですね。
これは高校数学できちんと学習する内容となります。

ところで・・・
ルートの中が負の数になってしまうような \(2\) 次方程式って
作れますか?

作れますね。
\(b^2-4ac \lt 0\)
となるような \(a,b,c\) を選べばよいのですから、
例えば
\(a=1\)
\(b=1\)
\(c=1\)
で、
\(x^2+x+1=0\)
という2次方程式です。
これの解ってどうなっているのでしょう???

改めて申し上げますが、これは高校数学できちんと学習する内容となります。
現段階では「解なし」の2次方程式です。
中学生の間、このような2次方程式に触れる機会はありません。
テストでも入試でも出てきませんので、あまり深入りいしなくてOKです。

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