中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】解が与えられた2次方程式

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例題1

\(2\) 次方程式 \(x^2+6x+a=0\) の解の \(1\) つが \(-2\) のとき、\(a\) の値ともう \(1\) つの解を求めなさい。

解説

解は、方程式に代入します。

中 \(1\) のころからやってきたことですね。
解は代入です!

\(x=-2\) を、\(x^2+6x+a=0\) に代入して
\((-2)^2+6×(-2)+a=0\)
\(4-12+a=0\)
よって
\(a=8\)
これにより、はじめの \(2\) 次方程式が \(x^2+6x+8=0\) なので、
\(x^2+6x+8=0\)
\((x+2)(x+4)=0\)
\(x=-2,-4\)
よって、もう \(1\) つの解は \(-4\)

例題2

\(2\) 次方程式 \(x^2+ax+b=0\) の解が \(-2\) と \(5\) のとき、\(a,b\) の値を求めなさい。

解説

\(2\) 次方程式の解が、 \(-2\) と \(5\) なので、この \(2\) 次方程式は
\((x+2)(x-5)=0\)
である。
この式を展開すると、
\((x+2)(x-5)=0\)
\(x^2-3x-10=0\)
よって、\(a=-3\),\(b=-10\)

別解

上の解法の方が楽ですが。
\(x=-2\) を \(x^2+ax+b=0\) に代入すると
\(4-2x+b=0\)・・・①
\(x=5\) を \(x^2+ax+b=0\) に代入すると
\(25+5a+b=0\)・・・②

①と②を連立方程式として解くと、\(a=-3\),\(b=-10\)

例題3

\(2\) 次方程式 \(x^2+ax+20=0\) の \(2\) つの解が正の整数であるとき、\(a\) の値をすべて求めなさい。

解説

\(2\) つの正の整数解が \(p,q\) だとすれば、
この \(2\) 次方程式 \(x^2+ax+20=0\) は
\((x-p)(x-q)=0\)
と因数分解されます。
展開すれば、
\(x^2-(p+q)x+pq=0\)
なので、
\(pq=20\)
です。
よって、 \(20\) の約数を調べます。
\(1,20\)
\(2,10\)
\(4,5\)
の \(3\) 組あります。
求める \(a\) は
\(a=-(p+q)\) なので
\(a=-21,-12,-9\)
の \(3\) つが答えとなります。

例題4

2次方程式 \(x^2-(a+2b)x+3a+b=0\) が\(x=\pm \sqrt{2}\) を解にもつとき、\(a,b\) の値を求めなさい。

解説

\(x=\pm \sqrt{2}\) を解にもつ \(2\) 次方程式は
\((x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})=0\)
なので、これを展開すると
\(x^2-2=0\)
となります。
つまり、
\(x^2-2=0\)

\(x^2-(a+2b)x+3a+b=0\)
が等しいためには
\(x\) の係数や、定数項がそれぞれ等しくなるため
\(0=a+2b\)
\(-2=3a+b\)
となります。
これを連立方程式として解けば
\(a=-0.8\)
\(b=0.4\)
と求まります。

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