中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】\(\sqrt{ }\) が整数となるような \(n\)

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例題1

次の数が自然数となるような \(n\) をすべてもとめなさい。
\(\sqrt{30-7n}\)

解説

順に調べていくのみです。
\(\sqrt{A^2}=A\) なので、ルートの中が平方数になるかどうかを調べるのみです。

\(n=1\) のとき

\(\sqrt{30-7×1}=\sqrt{23}\)
これは適さない。

\(n=2\) のとき

\(\sqrt{30-7×2}=\sqrt{16}=4\)
これは適する。

\(n=3\) のとき

\(\sqrt{30-7×3}=\sqrt{9}=3\)
これは適する。

\(n=4\) のとき

\(\sqrt{30-7×4}=\sqrt{2}\)
これは適さない。

\(n \geqq 5\) のときはルートの中が負になるため不適。

よって、求める答えは、\(n=2,3\)

例題2

次の数が自然数となるような \(n\) のうちで、もっとも小さい数をもとめなさい。
\(\sqrt{12n}\)

解説

もちろん \(\sqrt{A^2}=A\) となることを利用します。

つまり、 \(12n\) が平方数になるような \(n\) のうち、もっとも小さい数が答えとなります。

平方根の中を簡略化する方法は習得しましたね?
これを用いて、簡略化しましょう。
\(\sqrt{12n}\)
\(=\sqrt{4×3n}\)
\(=\sqrt{4}×\sqrt{3n}\)
\(=2\sqrt{3n}\)

これが自然数となるためには、当然ですが、\(\sqrt{3n}\) が自然数になればよいです。
\(\sqrt{A^2}=A\)  なのですから、
\(\sqrt{3n}\) が自然数になるのは、\(n=3\) のときです。

さらなる考察で理解を深める!

ちなみに、\(\sqrt{3n}\) が自然数になるような \(n\) は無限にあります。
もっとも小さい数は上で見た通りの \(n=3\) ですが、
他はどうなっているのか見ておきましょう。

\(\sqrt{3n}\) が自然数になるのは、
\(\sqrt{3n}=\sqrt{3×3×m^2}\) となるときで、
\(\sqrt{3n}=\sqrt{3×3×m^2}=3m\) となります。

つまり、\(n=3×m^2\) となるときに、 \(\sqrt{12n}=2\sqrt{3n}\) は自然数になります。

よって、
\(n=3×1^2=3\)
\(n=3×2^2=12\)
\(n=3×3^2=27\)
\(n=3×4^2=48\)
のように、無限に続いていきます。

例題3

次の数が自然数となるような \(n\) をすべてもとめなさい。
\(\sqrt{\displaystyle \frac{180}{n}}\)

解説

例題2と同様ですが、簡略化できるときに簡略化するのはあたりまえですよね。

\(\sqrt{\displaystyle \frac{180}{n}}\)

\(=\displaystyle \frac{\sqrt{180}}{\sqrt{n}}\)

\(=\displaystyle \frac{\sqrt{36×5}}{\sqrt{n}}\)

\(=\displaystyle \frac{\sqrt{36}×\sqrt{5}}{\sqrt{n}}\)

\(=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{n}}\)

さて、これが自然数となるためには、
分子の \(\sqrt{5}\) が約分で消えればよいことがわかります。

よって、\(n=5\) のときが答えであることがわかります。

これで解決!とはいかないことは感づいていますか?
問題文に、「すべてもとめなさい。」とあります。
これは、答えが複数あることを予感させますね。

あらためて、簡略化した式の最後とにらめっこをします。

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{n}}=自然数\)

これが自然数となるのは、
\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=6\)

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=3\)

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=2\)

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}=1\)

の4通りです。

つまり、

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=6\) のとき

\(6=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
このとき \(n=5\)

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=3\) のとき

\(3=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{20}}\)
このとき \(n=20\)

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=2\) のとき

\(2=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{45}}\)
このとき \(n=45\)

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}=1\) のとき

\(1=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{180}}\)
このとき \(n=180\)

より、求める答えは、\(n=5,20,45,180\) です。

別解

最後のところ、\(n=5\) 以外の答えがあることに気づきにくいでしょうか。
上と本質的にはまったく同一の解法ですが、見た目が違うものを紹介します。

\(\sqrt{A^2}=A\) なので、
\(\sqrt{\displaystyle \frac{180}{n}}=\sqrt{A^2}\)
となればよいですね。

つまり \(\displaystyle \frac{180}{n}=A^2\) です。

180を素因数分解してかきなおすと、
\(\displaystyle \frac{180}{n}=\displaystyle \frac{2^2×3^2×5}{n}\)

つまり、分子の \(2^2×3^2×5\) が、約分によって平方数になればよいことがわかります。

以下の4パターンあることになります。

\(5\) で約分

\(5\) で約分。分子に\(2^2×3^2\) が残る。
つまり、 \(n=5\)

\(5×2^2\) で約分

\(5×2^2\) で約分。分子に\(3^2\) が残る。
つまり、 \(n=5×2^2=20\)

\(5×3^2\) で約分

\(5×3^2\) で約分。分子に\(2^2\) が残る。
つまり、 \(n=5×3^2=45\)

\(5×2^2×3^2\)

\(5×2^2×3^2\) で約分。分子に\(1\) が残る。
つまり、 \(n=5×2^2×3^2=180\)

はじめの解法と、どちらが気づきやすいでしょうか?
どちらでもかまいません。
自分がやりやすいほうで解きましょう。

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