中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】平方根の計算ルール

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平方根の計算

\(\sqrt{x}\)\(×\)数

\(\sqrt{2}\)\(\sqrt{3}\) は、円周率 \(\pi\) のように扱います。
一つの文字のように扱います。

以下のような計算ルールとなります。

\(\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)
\(\sqrt{2}×5=5\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{2}÷3=\)\(\frac{4\sqrt{2}}{3}\)

注 \(\frac{4}{3}\)\(\sqrt{2}\) という表記はほとんど見かけません。

\(\sqrt{}\) ルートどうしの加減

よくある勘違いですが、
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}\) ・・・\(≠\)は「等しくない」という意味。\(\sqrt{5}\) ではないですよ!

\(\sqrt{2}\) と \(\sqrt{3}\) を足しても、\(\sqrt{5}\)にはなりません!!

では足したら何になるのか!?
\(\sqrt{2}\)\(\sqrt{3}\) を足すと、
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
になります。つまり、簡略化できないのです。
\(x+y\) をこれ以上簡略化できないのと同じことです。
同類項ではないのです。

以下の例では、同類項をまとめます。
\(\sqrt{2}+5\sqrt{2}+\sqrt{3}+2\sqrt{3}\)
\(=6\sqrt{2}+3\sqrt{3}\)

\(\sqrt{2}\) の項同士、\(\sqrt{3}\) の項同士でまとめます。

\(\sqrt{}\) ルートどうしのかけ算

\(\sqrt{2}×\sqrt{3}\)

この計算は、なんと大方の予想通り
\(\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}\)
です。
根号の中の数、\(2×3=6\)
をそのまま使って良いという
非常に直感に訴える計算ルールです。
とても覚えやすいですね!

なぜこれが成り立つのかを説明しますと
\(\sqrt{2}×\sqrt{3}=A\)・・・計算結果を \(A\) とします。この \(A\) がいくつなのかが目標です。
両辺を2乗すると
\((\sqrt{2}×\sqrt{3})^2=A^2\)・・・左辺を計算していく
\((\sqrt{2}×\sqrt{3})×(\sqrt{2}×\sqrt{3})=A^2\)
\(\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}=A^2\)
\(2×3=A^2\)
\(6=A^2\)
よって、\(A\)\(+\sqrt{6}\)\(-\sqrt{6}\) のいずれかです。
明らかに正の数なので、
\(A=\sqrt{6}\) と求まりました。

つまり、
\(\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}\)
が確かめられましたね!

\(\sqrt{}\) ルートどうしのわり算

\(\sqrt{6}÷\sqrt{3}\)

このようなわり算も、かけ算同様直感的な計算でOKです。
わり算とかけ算は同一の計算ですからね
つまり、
\(\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{2}\)
根号の中の数をわり算してしまってOKです。

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