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【中学数学】変化の割合・必殺の公式

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2乗に比例・変化の割合の公式

変化の割合とはそもそも何なのか、
前ページできちんと納得していただけたかと思います。

ところで、

\(2\) 乗に比例、\(y=ax^2\) の変化の割合を、ズバッと公式一発で求めることができます。

\(y=ax^2\) において、
\(x\) の値が \(x_{ 1 }\) から \(x_{ 2 }\) に増加するときの変化の割合は、

変化の割合= \(a(x_{ 1 }+x_{ 2})\)

この公式は、便利であることは疑いようがありませんので、
覚えてしまいましょう。

しかし・・・
そもそも変化の割合って何なの?
という好奇心なしに、この公式だけを覚えても、
あまりにもつまらない学習になることは間違いありません。

とても便利な公式なので、どんどん使ってしまって構いませんが、
「へえ、あの直線の傾きが、こんな簡潔な式一発で求まるんだ、
不思議だなあ、便利だなあ」
という気持ちで使うのが正しい学習かなと思います。

例題1

\(y=-2x^2\) について、\(x\) が次のように増加するときの変化の割合を求めなさい。
① \(1\) から \(3\) まで
② \(-1\) から \(2\) まで
③ \(-5\) から \(-2\) まで
④ \(-3\) から \(3\) まで

解説

前ページのように、\(2\) 点を結ぶ直線の傾きとして出すこともできるように
なっておきましょう。
ここでは、公式の使い方の練習とします。

① \(1\) から \(3\) まで

\(変化の割合=-2(1+3)=-8\)
これで求まってしまいました。
簡単で便利です。

② \(-1\) から \(2\) まで

\(変化の割合=-2(-1+2)=-2\)
原点をまたく変化の割合です。
いわゆる、意味のない変化の割合ですが、
これも公式一発でOKです。

③ \(-5\) から \(-2\) まで

\(変化の割合=-2\{-5+(-2)\}=14\)

④ \(-3\) から \(3\) まで

\(変化の割合=-2\{-3+3\}=0\)
これは公式を使わなくとも、
図形的にも明らかですね。

例題2

\(y\) が \(x\) の \(2\) 乗に比例し、 \(x\) の値が \(1\) から \(4\) まで増加するときの
変化の割合が \(\displaystyle \frac{5}{2}\) であるような関数の式を求めなさい。

解説

公式なしで解いて見ましょう。
求める関数の式を \(y=ax^2\) とすると、
このグラフは
\((1,a)\)

\((4,16a)\)
を通る。
この \(2\) 点を結ぶ直線の傾きが、変化の割合 \(\displaystyle \frac{5}{2}\) なのだから、

\(変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}\)
より、

\(\displaystyle \frac{5}{2}=\displaystyle \frac{16a-a}{4-1}\)

\(\displaystyle \frac{5}{2}=\displaystyle \frac{15a}{3}\)

\(\displaystyle \frac{5}{2}=5a\)

\(a=\displaystyle \frac{1}{2}\)

公式を用いる別解

\(\displaystyle \frac{5}{2}=a(1+4)\)

\(\displaystyle \frac{5}{2}=5a\)

\(a=\displaystyle \frac{1}{2}\)
公式を用いると、圧倒的な速さで解決します。
意味不明な公式は使うな!
とは言えない便利さがあると
認めざるを得ません。

例題2

\(y=\displaystyle \frac{1}{4}x^2\) において、\(x\) の値が \(a\) から \(a+4\) まで増加するときの
変化の割合が \(-3\) である。このとき、 \(a\) の値を求めなさい。

解説

定義通り、文字式の計算をすることも可能ですが、
公式の便利さをかみしめましょう。

\(-3=\displaystyle \frac{1}{4}(a+a+4)\)

両辺を \(4\) 倍して整理すると

\(-12=2a+4\)
\(a=-8\)
あっさりと求まりました。

この公式はなぜ成り立つのか

\(y=ax^2\) において、
\(x\) の値が \(x_{ 1 }\) から \(x_{ 2 }\) に増加するときの変化の割合は、

変化の割合= \(a(x_{ 1 }+x_{ 2})\)

とても便利な変化の割合の公式ですが、
どうしてこの公式が導かれるのでしょうか?

それについて下で示します。

\(y=ax^2\) において、
\(x\) の値が \(x_{ 1 }\) のときの \(y\) は \(ax_{ 1 }^2\)
\(x\) の値が \(x_{ 2 }\) のときの \(y\) は \(ax_{ 2 }^2\)

\(変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}\)

なので、この式に代入します。

\(変化の割合=\displaystyle \frac{ax_{ 2 }^2-ax_{ 1 }^2}{x_{ 2 }-x_{ 1 }}\)

分子を \(a\) でくくると

\(変化の割合=\displaystyle \frac{a(x_{ 2 }^2-x_{ 1 }^2)}{x_{ 2 }-x_{ 1 }}\)

分子は \(2\) 乗の差なので、和と差の積に因数分解できます。

\(変化の割合=\displaystyle \frac{a(x_{ 2 }+x_{ 1 })(x_{ 2 }-x_{ 1 })}{x_{ 2 }-x_{ 1 }}\)

\(x_{ 2 }-x_{ 1 }\) で約分すると

変化の割合= \(a(x_{ 1 }+x_{ 2})\)

これで公式が導かれました。

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