中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】 \(y=ax^2\) (2乗に比例)導入

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\(y=ax^2\) 2乗に比例

\(y\) が \(x\) の関数であり、 \(x\) と \(y\) の間に
\(y=ax^2\)
という関係式が成り立つとき、\(y\) は \(x\) の \(2\) 乗に比例するという。
ただし、\(a\) は \(0\) でない定数で、比例定数といいます。

「\(y\) は \(x\) の \(2\) 乗に比例する」と問題文にあれば、すぐさま、\(y=ax^2\) とかくようにしましょう。
暗記ですよ、これは。

\(a\) はさまざまな値をとるので、これから学習するのは例えば、
\(y=x^2\)
\(y=3x^2\)
\(y=-x^2\)
などの関数です。

2次関数とは

\(y=ax^2\) は、\(2\) 次関数ともいわれます。
\(2\) 次関数とは、
\(y=x^2\)
\(y=-3x^2+1\)
\(y=x^2+x\)
\(y=\displaystyle \frac{1}{3}x^2-2x+3\)
のような,\(y=x の2次式\) となるものです。

中学 \(3\) 年では、この中で \(y=ax^2\) の形のものだけを学習します。
\(2\) 次関数すべてを学習するのは、高校生になってからです。

注意
\(y=\displaystyle \frac{a}{x^2}\)
は \(2\) 次関数ではありません。
\(x^2\)が分母にあるとき、\(x\)の\(-2\)乗なのです。
これについても、くわしくは高校で学習します。

\(y=ax^2\) (2乗に比例)の特徴

\(y=ax^2\) について、\(x\) の値を \(n\) 倍すると、\(y\) の値は \(n^2\) 倍になる。

\(y=2x^2\)

中学数学・高校受験chu-su- 2次関数 対応表 図1

\(y=ax^2\) (2乗に比例)の具体例

\(1\) 辺が \(xcm\)の立方体の表面積を \(ycm^2\)する。

このとき、\(y\) と \(x\) の間には
\(y=6x^2\)
という関係式が成立します。

中学数学・高校受験chu-su- 2次関数 立方体の表面積

例題 1

次の場合について、\(y\) を \(x\) の式で表し、 \(y\) が\(x\) の \(2\) 乗に比例するものには〇、そうでないものには×をかきなさい。
(1) 半径が \(xcm\) の円の面積 \(ycm^2\)
(2) 底辺が \(xcm\) 、高さが \(2xcm\) の三角形の面積 \(ycm^2\)
(3) たて\(xcm\) 、面積が \(20cm^2\) の長方形のよこの長さ \(ycm\)

解説

\(y\) が\(x\) の2乗に比例するとは、\(y\) を \(x\) の式に表した時に
\(y=ax^2\) の式になることです。
これは覚えてしまいましょう。

(1) 半径が \(xcm\) の円の面積 \(ycm^2\)

(1)円の面積=円周率×半径の \(2\) 乗なので、
\(y= \pi x^2\)
これは\(y\) が\(x\) の2乗に比例するので、〇です。

(2) 底辺が \(xcm\) 、高さが \(2xcm\) の三角形の面積 \(ycm^2\)

(2)三角形の面積=底辺×高さ×\(\displaystyle \frac{1}{2}\) なので、
\(y= x×2x × \displaystyle \frac{1}{2}\)
これは\(y\) が\(x\) の \(2\) 乗に比例するので、〇です。

(3) たて\(xcm\) 、面積が \(20cm^2\) の長方形のよこの長さ \(ycm\)

(3)長方形の面積=たて×よこ  なので、
\(20= xy\)
これは\(y\) が\(x\) の \(2\) 乗に比例ではないので、×です。

例題2

\(y\) が \(x\) の \(2\) 乗に比例し、\(x=6\) のとき、\(y=18\) ある。このとき次の問いに答えなさい。
(1)\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
(2)\(x=-3\) のときの \(y\) の値を求めなさい。
(3)\(y=32\) のときの \(x\) の値を求めなさい。

解説

\(y\) が \(x\) の \(2\) 乗に比例 とあるので、即座に \(y=ax^2\) とします。
この問題で話題になっているのは、 \(y=ax^2\) です。暗記です。

(1)\(y\) を \(x\) の式で表しなさい

(1)\(x=6\) のとき \(y=18\) なので、これを \(y=ax^2\) に代入して、\(a\) を求めます。
\(18=a×6^2\)
よって
\(a= \displaystyle \frac{1}{2}\)
です。
つまり、求める式は \(y=\displaystyle \frac{1}{2}x^2\)

(2)\(x=-3\) のときの \(y\) の値を求めなさい

(1)で求めた式に、\(x=-3\) を代入して、このときの\(y\) を求めます。
\(y=\displaystyle \frac{1}{2}×(-3)^2\)
よって
\(y=\displaystyle \frac{9}{2}\)
です。

(3)\(y=32\) のときの \(x\) の値を求めなさい

(1)で求めた式に、\(y=32\) を代入して、このときの\(x\) を求めます。
\(32=\displaystyle \frac{1}{2}x^2\)
よって
\(x^2=64\)
\(x= ±8\)
です。
\(x\) は \(2\) つの値がでてきましたね。

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