中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】 \(y=ax^2\)  図形との融合問題

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座標平面上の三角形

関数 \(y=ax^2\) と図形問題の融合として、非常によく出題される定番パターンを学習します。
解法をきちんと理解した上で、しっかりとその流れを暗記してしましましょう。

例題

下の図で、\(A,B\) は直線 \(L\) と関数 \(y=\displaystyle \frac{1}{2}x^2\) との交点である。
次の問いに答えなさい。

(1)△\(OAB\) の面積を求めなさい。 
(2)原点を通り、 △\(OAB\) の面積を \(2\) 等分する直線の式を求めなさい。  

中学数学・高校受験chu-su- 2次関数 図形融合 図1

解説

△OABの面積

(1)△ \(OAB\) の面積は、下図のように分けて考えるのが楽である。

中学数学・高校受験chu-su- 2次関数 図形融合 図2

よって、直線 \(L\) の切片がいくらなのか求めたい。
そのために、直線 \(L\) の式を求めましょう。
直線 \(L\) は、\(2\) 点 \((-2,2)\)、\((4,8)\) を通るので、
\(y=x+4\)
と求まります。

よって、切片は \(4\) なので、下図のように \(2\) つの三角形の面積が求まります。

中学数学・高校受験chu-su- 2次関数 図形融合 図3

よって
\(4×(2+4)÷2=12\)

△OABの面積を2等分する直線の式

(2)頂点を通る直線で三角形の面積を \(2\) 等分するのは、下図のようになります。

中学数学・高校受験chu-su- 2次関数 図形融合 図4

よって、△ \(OAB\) の面積が、原点を通る直線で \(2\) 等分されるとは、下図のようになります。
つまり、もとめる直線は \(AB\) の中点を通るのです!!

中学数学・高校受験chu-su- 2次関数 図形融合 図5

\(A\) と \(B\) の中点の求め方は覚えていますか?
\(A\) と \(B\) の \(x\) 座標の平均が、中点の \(x\) 座標
\(A\) と \(B\) の \(y\) 座標の平均が、中点の \(y\) 座標
です。

つまり、\(A\) と \(B\) の中点の座標は
\((\displaystyle \frac{-2+4}{2}\), \(\displaystyle \frac{2+8}{2}) = (1,5)\)

よって、求める直線は、原点と \((1,5)\) を通る直線なので、
\(y=5x\)
と求まります。

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