中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】円周角の定理 導入

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基本用語の確認

円 \(O\) の \(\stackrel{ \Large \frown }{ AB }\) に対して、\(\angle AOB\) を、\(\stackrel{ \Large \frown }{ AB }\) に対する中心角という。

円 \(O\) の \(\stackrel{ \Large \frown }{ AB }\) に対して、 \(\stackrel{ \Large \frown }{ AB }\) を除いた円周上に点Pをとる。
\(\angle APB\) を、\(\stackrel{ \Large \frown }{ AB }\) に対する円周角という。

中学数学・高校受験chu-su- 円周角と中心角

円周角の定理

円周角は中心角の半分

\(\stackrel{ \Large \frown }{ AB }\) に対する円周角の大きさは、\(\stackrel{ \Large \frown }{ AB }\) に対する中心角の大きさの半分である。
※円周角は中心角の半分!と覚えましょう。

中学数学・高校受験chu-su- 円周角と中心角 2倍の図

同じ弧に対する円周角は等しい

下図のように、\(\stackrel{ \Large \frown }{ AB }\) に対する円周角は無数にありますが、すべて同じ大きさの角になります。

中学数学・高校受験chu-su- 円周角等しい

半円の弧に対する円周角は90°である。

上記 \(2\) つから導かれることですが、中心角が \(180°\) のときは、特別に大事な図形として覚えておきましょう。
円周角が直角になります。

半円⇒\(90°\) という暗記も大事であるが
直径⇒\(90°\)  という暗記もしておくべきである。

中学数学・高校受験chu-su- 円周角 半円 直径

円周角の大きさは弧の長さに比例する

これも上の基本事項から導かれます。
弧の長さが \(2\) 倍になれば、円周角も \(2\) 倍になります。

中学数学・高校受験chu-su- 円周角の定理 弧の長さに比例

上の図で、
弧の長さが \(2\) 倍、\(3\) 倍になれば、円周角が \(2\) 倍、\(3\) 倍になることが確かめられます。

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