中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】三平方の定理・円と接線、弦

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円の基本的な性質

弦、接線、接点という言葉は覚えていますか?
その図形的性質は覚えていますか?
覚えていないとまったく問題が解けませんので、必ず暗記しましょう。

弦と二等辺三角形

円 \(O\) との弦 \(AB\) があれば、三角形 \(OAB\) が二等辺三角形になる。
二等辺三角形の図形的性質は大丈夫ですね?
左右対称です。

中学数学・高校受験chu-su- 円と弦 図01

接線と半径は垂直

半径(正しくは円の中心と接点を結んだ線分)と、その点における接線は垂直

中学数学・高校受験chu-su- 円と接線 図01

例題1

半径が \(11cm\) の円 \(O\) で、中心との距離が \(5cm\) である弦 \(AB\) の長さを求めなさい。

解答

このように、図が与えられないで出題されることもあります。
このようなときは、ささっと図をかきましょう。
あまりていねいな図である必要はありません。

「中心と弦との距離が \(5cm\) という情報を図示できますか?
点と直線(線分)の距離とは、
「点から直線に引いた垂線の長さ」
のことです。
これだって暗記です。
暗記ゼロでは数学の学習はできませんよ。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 円と弦 図1

図示ができれば簡単です。
三角形 \(OAC\) に三平方の定理を用いて
\(11^2=x^2+5^2\)
\(121=x^2+25\)
\(x^2=96\)
\(x=±\sqrt{96}\)
\(=±4\sqrt{6}\)
\(x\) の値は明らかに正なので、
\(x=4\sqrt{6}\)

これで答えにしてはいけませんね。
求める長さは、\(x\) ではなくて、\(2x\) なので
\(2x=8\sqrt{6}\)
弦 \(AB\) の長さは、\(8\sqrt{6}cm\)

例題2

円 \(O\) の中心と点 \(A\) との距離が \(16cm\) であり、点 \(A\) から円 \(O\) 上の点 \(P\) に接線を引いたとき \(AP\) の長さが \(12cm\) であった。円 \(O\) の半径の長さを求めなさい。

解答

図が与えられていないので図示するところからはじめます。
円 \(O\) の半径の長さが不明なので、正確な図は絶対にかけません。
概形がわかればよいのです。

円外の点から円に接線を引くとき、左右対称な \(2\) 本の接線が引けます。
どちらで解いても関係ないですね。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 円と接線 図1

求める半径の長さを \(x\) とすると
三平方の定理より
\(x^2+12^2=16^2\)
\(x^2+144=256\)
\(x^2=112\)
\(x=±\sqrt{112}\)
\(=±4\sqrt{7}\)
\(x\) の値は明らかに正なので、
\(x=4\sqrt{7}\)
よって、円 \(O\) の半径の長さは、\(4\sqrt{7}cm\)

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