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【中学数学】三平方の定理の証明

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三平方の定理の証明

三平方の定理はなぜ成立するのか。
ありとあらゆる直角三角形に成り立つというのです。不思議な気がしませんか?

実に様々な証明がありますが、
中学生が学習しておくべき最も重要な証明を紹介します。

三平方の定理 証明の例

下図のような直角三角形を \(4\) つをぐるりと並べて、\(1\) 辺の長さが \(a+b\) の正方形を作ります。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理の証明  図1

この図形の面積を \(2\) 通りに考えます。

三角形4つと中の四角形の和

三角形 \(1\) つの面積は、\(\displaystyle \frac{1}{2}ab\)

中の四角形の面積は、\(c^2\)

よって全体の面積は、\(\displaystyle \frac{1}{2}ab×4+c^2=2ab+c^2\)

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理の証明  図2

ところで、中の四角形の面積は、\(c^2\) としましたが、
これは中の四角形が正方形であるということで話を進めました。
本当に正方形なのでしょうか?
論理的に説明できますか?
\(4\) 辺が等しいだけでは、ひし形であることまでしか言えませんよ。
\(1\) つの角が直角であることを示しましょう。

下図の ◎ の角の大きさが直角であることを示すことが目標です。
左下の直角三角形の内角の和より、●と▲の和は \(90°\) です。
次に ◎ の角のある一直線\(=180°\) より、
●+▲+◎\(=180°\)
よって、◎\(=90°\)
これで示せました。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理の証明  図3

1辺が\(a+b\)の正方形の面積

全体の面積は、\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

2通りで得られた面積は等しい

別々の方法で面積を求めましたが、これらは互いに等しいので
\(2ab+c^2=a^2+2ab+b^2\)

両辺から\(2ab\)を引けば、

\(c^2=a^2+b^2\)

これで三平方の定理が得られました!!!

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