中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】連立方程式 小数・分数

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例題1

次の連立方程式を解きなさい。

$\left\{ \begin{array}{@{}1} 0.6x-1.2y=3\\ 2x+1.6y=0.8 \end{array} \right. $

解説

\(1\) 次方程式を解くときと同じです。
等式の両辺を \(10\) 倍、\(100\) 倍して小数点がない式にしてしまいましょう。

$\left\{ \begin{array}{@{}1} 0.6x-1.2y=3 ・・・①\\ 2x+0.8y=0.4 ・・・② \end{array} \right. $

①\(×10\)
\(6x-12y=30\)
この式の両辺を \(6\) で割って、
\(x-2y=5\)・・・①´

②\(×10\)
\(20x+8y=4\)
この式の両辺を \(4\) で割って、
\(5x+2y=1\)・・・②´

①´と②´を連立して解きます。

①´+①
      
中学数学・高校受験chu-su- 因数分解 連立方程式 小数 加減法 図1

よって、\(x=1\)
これを①´に代入すると、
\(1-2y=5\)
\(y=-2\)

別解

「小数点をはずして、整数で計算する」
これはルールではありません。小数のまま計算しても構いません。

$\left\{ \begin{array}{@{}1} 0.6x-1.2y=3 ・・・①\\ 2x+0.8y=0.4 ・・・② \end{array} \right. $

②\(×0.3\)
\(0.6x-0.24y=0.12\)・・・③

①´と③を連立して解きます。

中学数学・高校受験chu-su- 因数分解 連立方程式 小数 加減法 図2

よって、\(y=-2\)
これを①に代入すると、
\(0.6x+2.4=3\)
\(x=1\)

例題2

次の連立方程式を解きなさい。

$\left\{ \begin{array}{@{}1} \displaystyle \frac{1}{2}x+\displaystyle \frac{3}{4}y=8\\ \displaystyle \frac{x}{4}+\displaystyle \frac{y}{3}=-\displaystyle \frac{1}{4} \end{array} \right. $

解説

等式の両辺に同じ数をかけて、整数だけの式にしてしまいましょう。

$\left\{ \begin{array}{@{}1} \displaystyle \frac{1}{2}x+\displaystyle \frac{3}{4}y=8 ・・・①\\ \displaystyle \frac{x}{4}-\displaystyle \frac{y}{3}=-\displaystyle \frac{1}{4} ・・・② \end{array} \right. $

①\(×4\)
\(2x+3y=32\)・・・①´

②\(×12\)
\(3x-4y=-3\)・・・②´

これを連立します。

$\left\{ \begin{array}{@{}1} 2x+3y=32 ・・・①´\\ 3x-4y=-3 ・・・②´ \end{array} \right. $

ここから先は、加減法でも代入法でもなんでもよいです。
連立方程式を解けばよいのです。

$\left\{ \begin{array}{@{}1} x=7\\ y=6 \end{array} \right. $

別解

もちろん、整数に直さないでも良いんです。
①式\(÷2\) で②と \(x\) の係数がそろうので、このまま加減法で解いても構いません。

$\left\{ \begin{array}{@{}1} \displaystyle \frac{1}{4}x+\displaystyle \frac{3}{8}y=4・・・①÷2\\ \displaystyle \frac{x}{4}+\displaystyle \frac{y}{3}=-\displaystyle \frac{1}{4}・・・② \end{array} \right. $

これを解いて、
$\left\{ \begin{array}{@{}1} x=7\\ y=6 \end{array} \right. $

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