中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】連立方程式・代入法

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代わりに入れる

連立方程式の解き方は\(2\) 種類です。
加減法と代入法です。
加減法はマスターしましたか?

続いて、連立方程式の解き方の2.代入法を学習しましょう。

例題1

次の連立方程式を代入法で解きなさい。
$\left\{ \begin{array}{@{}1} 3x-y=2\\ y=x-4 \end{array} \right. $

解説

「代入」とは「代わりに入れる」ことです。

つまり、 \(y\) の代わりに、それと等しい \(x-4\) でもいいじゃないか、ということです。

中学数学・高校受験chu-su- 比例 連立方程式 代入法 図1

つまり
$\left\{ \begin{array}{@{}1} 3x-y=2・・・①\\ y=x-4・・・② \end{array} \right. $
①式に②を代入すると
\begin{eqnarray}3x-y &=& -2 \\3x-(x-4) &=& 2 ・・・これを解いていく\\2x+4 &=& 2 ・・・両辺を2で割る\\x+2 &=& 1 \\x &=& -1\end{eqnarray}
これを①式あるいは②式に代入すると、 \(y\) が求まります。
どちらに代入してもかまいません。
②式に代入すると、
\begin{eqnarray}y &=& (-1)-4 \\y &=& -5\end{eqnarray}
よって
$\left\{ \begin{array}{@{}1} x=-1\\ y=-5 \end{array} \right. $

代入するときは、必ず( )をつけます。
符号ミスを防ぐためです。

代入のための等式の変形

例題2

次の連立方程式を代入法で解きなさい。
$\left\{ \begin{array}{@{}1} -2x+5y=11\\ 5x-2y=4\end{array} \right. $

解説

これ、加減法で解いてはいけないんですか???

高校入試では、解き方に指定がつくことはほぼないと言えます。
加減法でも代入法でも好きに解けばいいんです。
なんとなくあてはめたら解が見つかった!でもかまいません。

しかし、中学の定期テストなどで、解法が指定されたならば、
指示に従って解くしかないですね・・・

ということで、ここでは代入法で解きましょう。
$\left\{ \begin{array}{@{}1} -2x+5y=11・・・①\\ 5x-2y=4・・・② \end{array} \right. $

2つある式のうち、どちらの式でもかまいません。
\(x=~\) の形に、あるいは \(y=~\) の形に変形します。

①式を \(x=~\) に変形します。

\begin{eqnarray}-2x+5y &=& 11 \\-2x &=& -5y+11 \\x &=& 2.5y-5.5\end{eqnarray}
これを、②式に代入します。

\begin{eqnarray}5x-2y &=& 4 \\5×(2.5y-5.5)-2y &=& 4 \\10.5y-27.5 &=& 4 \\10.5y &=& 31.5 \\y &=& 3\end{eqnarray}
これを①式あるいは②式に代入すると、 \(x\) が求まります。
どちらに代入してもかまいません。

①式に代入すると
\begin{eqnarray}-2x+5y &=& 11 \\-2x+5×3 &=& 11 \\-2x &=& -4 \\x &=& 2\end{eqnarray}
よって
$\left\{ \begin{array}{@{}1} x=2\\ y=3 \end{array} \right. $

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