中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】確率・くじ引き

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例題1

当たりが \(2\) 本、はずれが \(3\) 本入っているくじの箱がある。この箱からくじを \(2\) 本ひくとき、次の確率を求めなさい。
①\(1\) 本くじをひき、ひいたくじを箱にもどしてから、もう \(1\) 本くじをひくとき、\(1\) 本当たりの出る確率
②\(1\) 本くじをひき、ひいたくじを箱にもどさないで、もう \(1\) 本くじをひくとき、\(1\) 本当たりの出る確率
③\(2\) 本同時にくじをひくとき、\(1\) 本当たりのでる確率

解説

すべてのくじに名前をつけて区別します。
そして、かき出します。

当たり \(2\) 本を \(A,B\)
はずれ \(3\) 本を \(1,2,3\)
と名付けます。
もちろん区別さえできれば、名前はなんでもかまいません。

さて樹形図でかき出していきましょう!

①ひいたくじをもどす

ひいたくじを箱にもどすので、同じくじを \(2\) 連続で引くこともありますね。

中学数学・高校受験chu-su- 確率 くじびき 戻す 図1

全部で \(25\) 通りあることがわかります。
そして、\(1\) 本当たりがでているのは、●印をつけた \(12\) 通りです。
よって、もとめる確率は、\(\displaystyle \frac{12}{25}\) です。

全かき出しをしないで、計算で求める

上の樹形図ですが、すべて \(5\) 本に枝分かれしています。
よって、\(1\) 回目にひくくじが \(5\) 通り、\(2\) 回目にひくくじが、\(5\) 通り、
\(5×5=25\)(通り)
と全場合の数を計算で求めることもできます。
しかし、計算で済ませることができるのは、全体像が上の樹形図のようになることが、確実に手にとるようにわかるからこそです。
たくさんの書き出しを経験することで、計算だけで済ませられるようになる日もくるかもしれません。

ところで、\(1\) 本だけ当たりの場合の数は、計算ではどのように求めるのでしょうか。
以下のようになります。
①\(1\) 回目が当たりで、\(2\) 回目がはずれ
\(2×3=6\)(通り)
②\(1\) 回目がはずれで、\(2\) 回目が当たり
\(3×2=6\)(通り)
①と②あわせて、\(6+6=12\)(通り)

いかがでしょうか?
全部書き出した方が楽だな、と感じた人が多いのではないでしょうか?
はい、どんどん全書き出しをしていきましょう!

②ひいたくじをもどさない

もちろん樹系図による書き出しです。
\(1\) 回目にひいたくじをもどさないので、\(2\) 回目にひくことはありませんね。
下の図のようになります。

中学数学・高校受験chu-su- 確率 くじびき 戻さない 図2

全部で \(20\) 通りあることがわかります。
そして、\(1\) 本当たりがでているのは、●印をつけた \(12\) 通りです。
よって、もとめる確率は、\(\displaystyle \frac{12}{20}=\displaystyle \frac{3}{5}\) です。

もちろん、慣れてくれば計算で求めてしまってもかまわないです。

③2本同時にくじをひく

○同時に取り出すので、同じくじ \(2\) つをひくことはない。
○同時に取り出すので、順序は関係ない。
つまり、「\(A,B\)」と「\(B,A\)」を区別しない。

これに注意して書き出すと、下の図のようになります。

中学数学・高校受験chu-su- 確率 くじびき 同時にひく 図3

全部で \(4+3+2+1=10\) 通りあることがわかります。
そして、\(1\) 本当たりがでているのは、●印をつけた \(6\) 通りです。
よって、もとめる確率は、\(\displaystyle \frac{6}{10}=\displaystyle \frac{3}{5}\) です。

2本同時と1本ずつ順に2本は同じ確率

ちなみに \(2\) 本同時にひくときの樹系図は、②の樹系図、つまり \(1\) 本ずつ順にひくときの樹系図の半分になっています。

中学数学・高校受験chu-su- 確率 くじびき 同時にひく 図4

また、②と③で確率が等しいことも偶然ではありません。
\(1\) 本ずつ \(2\) 本ひくのと、同時に \(2\) 本ひくのと、当たりやすさに違いがないということです。
当たり前ですよね。

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