中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】2直線の交点(連立方程式とグラフ)

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2つの直線が交わる

例題1 図示して交点を求める

\(2\) 直線
\(y=x-1\)
\(y=-\displaystyle\frac{1}{2}x+5\)
の交点の座標を求めなさい。

解説

図示してみると・・・

\(2\) つの直線を図示してみましょう。

中学数学・高校受験chu-su- 比例 1次関数 2直線の交点 図11

\((4,3)\) で交わることが確かめられます。
よって求める交点は、\((4,3)\) です。

交点を計算で求める

ところで \(2\) 直線の交点は、計算で求めることも可能です。
\(y=x-1\) を満たす\(x\),\(y\) の組が無数にあり、
\(y=-\displaystyle\frac{1}{2}x+5\) を満たす\(x\),\(y\) の組が無数にあり、
その中で、共通なものを探す、ということです。
これは・・・

連立方程式の解を求めることと同じです!

つまり、\(2\) 直線の交点は、

連立方程式
$\left\{ \begin{array}{@{}1} y=x-1\\ y=-\displaystyle\frac{1}{2}x+5 \end{array} \right. $

の解を求めることと一致します。
さきほど図示することで得た交点の座標 \((4,3)\) が、
計算で求まることを実際に確認しておきましょう。

図示してみても、交点が格子点(\(x\) 座標も \(y\) 座標も整数の点)である保障もありません。
\(2\) 直線の交点は、連立方程式で求める、と覚えましょう。

例題2 計算で交点を求める

\(2\) つの直線が右図のように点 \(P\) で交わっている。このとき、次の問いに答えなさい。
①直線 \(L\) の式を求めなさい。
②直線 \(M\) の式を求めなさい。
③交点 \(P\) の座標を求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 1次関数 2直線の読み取りから交点 図1

解説

①直線 \(L\) の式を求めなさい

①直線 \(L\) の切片は\(8\) 、傾きは 
   \(\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量} = \displaystyle \frac{-8}{4} = -2 \)
よって、直線Lの式は
 \(y=-2x+8\)

中学数学・高校受験chu-su- 1次関数 2直線の読み取りから交点 図2

②直線 \(M\) の式を求めなさい

② 直線 \(M\) の切片は \(3\) 、傾きは 
   \(\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量} = \displaystyle \frac{3}{3} = 1 \)
よって、直線 \(M\) の式は
 \(y=x+3\)

中学数学・高校受験chu-su- 1次関数 2直線の読み取りから交点 図3

③交点 \(P\) の座標を求めなさい

③2直線の式を連立方程式として解きます。
$\left\{ \begin{array}{@{}1} y=-2x+8\\ y=x+3 \end{array} \right. $
これを解いて
$\left\{ \begin{array}{@{}1} x= \displaystyle \frac{5}{3} \\ y= \displaystyle \frac{14}{3} \end{array} \right. $

よって、交点 \(P\) の座標は
\(( \displaystyle \frac{5}{3}, \displaystyle \frac{14}{3})\)

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