中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】1次関数 ばね

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例題1

下の表は長さ \(20mm\) のばねにおもりをつるし、おもりの重さとばねの長さの関係を調べたものである。おもりの重さを \(xg\),ばねの長さを \(ymm\) とします。次の問いに答えなさい。
中学数学・高校受験chu-su- 1次関数 ばね 図1

(1)  おもりの重さが \(1g\) 増すごとに、ばねの長さは何\(mm\)ずつのびますか。
(2) \(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
(3) \(24g\) のおもりをつるしたときの、ばねの長さを求めなさい。

解説

式処理だけで解いてもかまいませんが、ばねの長さが \(1\) 次関数になることを
積極的に利用して解くならば、グラフの活用です。
表をグラフにしてしまいましょう。
座標平面の右上部分のみを使ったグラフになります。
さっとラフにかけば十分です。
下図は \(y\) 軸の比率は不正確です。
ぜんぜんこれでOKです。概形がわかることが重要です。
中学数学・高校受験chu-su- 1次関数 ばね 図2

実はもっと簡略化した図でもかいません。
ばねは \(1\) 次関数!!ということを確かめたあとならば
(事実上暗記してしまいますね・・・)
下図くらいかけば十分でしょう。
中学数学・高校受験chu-su- 1次関数 ばね 図3

さて解いていきましょう。

(1) おもりの重さが \(1g\) 増すごとに、ばねの長さは何\(mm\)ずつのびますか

グラフから、\(10g\) 増えるごとに \(3mm\) ずつ伸びることがわかります。
よって、\(1g\) 増えるごとに、\(0.3mm\) ずつ伸びます。

中学数学・高校受験chu-su- 1次関数 ばね 図4
 ※グラフなしで、表からこの情報を得ることもできます。

(2)\(y\) を \(x\) の式で表しなさい

(1)で求めたものは、この直線の傾きですね!
よって、傾きが \(0.3\)、切片は \(20\) なので、求める式は、
\(y=0.3x+20\)

中学数学・高校受験chu-su- 1次関数 ばね 図5

(3)\(24g\) のおもりをつるしたときの、ばねの長さを求めなさい

\(x=24\) を、(2)で求めた直線の式に代入します。
\(y=0.3×24+20\)
\(y=27.2\)
よって、ばねの長さは、\(27.2mm\) と求まります。

注 現実のばねはある一定以上の重さのおもりを吊り下げると、1次関数にように規則正しく伸びなくなります。ばねがのびきって縮まらなくなる、つまり壊れてしまうような重さのときです。数学において、これを考慮した出題はまずありえないでしょう。

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