中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】正三角形

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正三角形

\(3\) つの辺が等しい三角形を正三角形といいます。
正三角形は、二等辺三角形の特別な場合です。
いわば、三等辺三角形です。

正三角形の \(3\) つの内角は等しく、すべて、\(60°\) です。

中学数学・高校受験chu-su- 図形 正三角形 図01

正三角形は線対称な図形である

正三角形は、二等辺三角形なので、二等辺三角形の性質を持っています。
\(AD\) を軸として、正三角形 \(ABC\) は線対称であり、\(BD=CD\) です。
また、三角形 \(ABD\) は三角定規の形の1つです。

中学数学・高校受験chu-su- 図形 正三角形 図02

※対称の軸は、すべての頂点からひけます。\(3\) 方向すべてが対称的な図形です。

例題1

下の図で、四角形 \(ABCD\) は正方形、三角形 \(DCE\) は正三角形です。 \(\angle x\) の大きさを求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 図形 正三角形 2-1

解説

正方形の \(4\) つの辺と、正三角形の \(3\) つの辺がすべて等しい長さなので、
三角形 \(CEB\) が二等辺三角形です。
また、 \(\angle BCE=90°+60°=150°\)
よって、 \(\angle x=(180-150)÷2=15°\)

中学数学・高校受験chu-su- 図形 正三角形 2-2

例題2

下の図で、四角形 \(ABCD\) は正方形、三角形 \(EBC\) は正三角形です。 \(\angle x\) の大きさを求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 図形 正三角形 3-1

解説

正方形の \(4\) つの辺と、正三角形の \(3\) つの辺がすべて等しい長さなので、
三角形 \(BEA\) が二等辺三角形です。
※もちろん三角形 \(CED\) が二等辺三角形
また、 \(\angle ABE=90°-60°=30°\)
よって、 \(\angle BEA=(180-30)÷2=75°\)

中学数学・高校受験chu-su- 図形 正三角形 3-2

二等辺三角形 \(EDA\) に着目すれば、
\(\angle x=180-15×2=150°\)

点 \(E\) の周りの \(4\) つの角に着目すれば、
\(\angle x=360-(75×2+60)=150°\)


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