中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】証明・平行四辺形の性質の利用

スポンサーリンク


平行四辺形の性質

問題に、平行四辺形がでてくることがあります。
このとき、平行四辺形には以下の \(4\) つが成り立っていることは
暗黙の前提です。証明なしで使って構いません。

\(2\) 組の対辺がそれぞれ平行
\(2\) 組の対辺がそれぞれ等しい
\(2\) 組の対角がそれぞれ等しい
対角線がそれぞれの中点で交わる

例題1

下の図で、、平行四辺形 \(ABCD\) の辺 \(AD,BC\) 上に \(ED=FB\) となる点 \(E,F\) をとる。
このとき、\(AF=CE\) となることを証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形の性質の利用 図1

解説

線分の長さが等しいことを示したいとき、
示すための根拠の第一候補は、その線分を含む三角形の合同でしたね。
\(AF,CE\) を含む三角形は、\(\triangle ABF , \triangle CDE\) です。
見た感じでも \(\triangle ABF \equiv \triangle CDE\) ですね。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形の性質の利用 図2

本当に合同なのか、等しい辺、角を入れていきましょう。
仮定より \(BF=DE\)
平行四辺形の対辺なので、 \(AB=CD\)
平行四辺形の対角なので、 \(\angle ABF=\angle CDE\)

中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形の性質の利用 図3

\(2\) 辺とその間の角が等しいですね。
これを証明にまとめます。
※ほとんど上の文そのままの証明になりますね。

解答

\(\triangle ABF\) と \(\triangle CDE\) において
仮定より \(BF=DE\) ・・・①
平行四辺形の対辺なので、 \(AB=CD\) ・・・②
平行四辺形の対角なので、 \(\angle ABF=\angle CDE\) ・・・③
①、②、③より \(2\) 辺とその間の角が等しいから
\(\triangle ABF \equiv \triangle CDE\)
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので
\(AF=CE\)

例題2

下の図で、、平行四辺形 \(ABCD\) の対角線 \(AC,BD\) の交点を \(O\) とし、 \(O\) を通る直線と辺 \(AB,CD\) との交点をそれぞれ \(E,F\) とする。このとき、\(AE=CF\) となることを証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形の性質の利用 図4

解説

線分の長さが等しいことを示したいので、上と同様です。
\(AE,CF\) を含む三角形は、\(\triangle AEO , \triangle CFO\) です。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形の性質の利用 図5

本当に合同なのか、等しい辺、角を入れていきましょう。
平行四辺形の対角線は中点で交わるので、 \(OA=OC\)
平行線の錯角なので、 \(\angle OAE=\angle OCF\)
対頂角なので、 \(\angle EOA=\angle FOC\)

中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形の性質の利用 図6

\(1\) 辺とその両端の角が等しいですね。
これを証明にまとめます。

解答

\(\triangle AEO\) と \(\triangle CFO\) において
平行四辺形の対角線は中点で交わるので、 \(OA=OC\) ・・・①
平行線の錯角なので、 \(\angle OAE=\angle OCF\) ・・・②
対頂角なので、 \(\angle EOA=\angle FOC\) ・・・③
①、②、③より \(1\) 辺とその両端の角が等しいから
\(\triangle AEO \equiv \triangle CFO\)
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので
\(AE=CF\)

スポンサーリンク





  • 次のページ 平行四辺形であることの証明
  • 前のページ 直角三角形の合同の証明
  • 中学2年数学の解説

    • Facebook
    • Hatena
    • twitter
    • Google+

    中学2年数学の解説

    PAGETOP
    Copyright © 中学数学の無料学習サイト chu-su- All Rights Reserved.
    Powered by WordPress & BizVektor Theme by Vektor,Inc. technology.