中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】平行四辺形になることの証明・その1

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平行四辺形になるための条件

四角形 \(ABCD\) が平行四辺形であることを示せ。

このような問題を学習していきます。
四角形 \(ABCD\) が平行四辺形であることを示すためには、
以下の \(5\) つのうち、どれか \(1\) つが成り立てばよいのです。

\(2\) 組の対辺がそれぞれ平行
\(2\) 組の対辺がそれぞれ等しい
\(2\) 組の対角がそれぞれ等しい
対角線がそれぞれの中点で交わる
\(1\) 組の対辺が平行で、その長さが等しい

なんと \(5\) つもありますが・・・
しっかり覚えてください。

よく用いるのは
対角線がそれぞれの中点で交わる
\(1\) 組の対辺が平行で、その長さが等しい
の \(2\) つです。
まずはこの \(2\) つをしっかり覚えましょう。

例題1

平行四辺形 \(ABCD\) の辺上に点 \(E,F\) を、 \(DE=BF\) となるようにとる。
このとき、四角形 \(AFCE\) は平行四辺形であることを証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形であることの証明 図1-1

解説

平行四辺形になるための \(5\) 条件を暗記し、
どれに該当するのか、探っていきます。

上で書いた通り、まず候補とすべきなのが
対角線がそれぞれの中点で交わる
\(1\) 組の対辺が平行で、その長さが等しい
の \(2\) つです。

この問題では、示すべき四角形 \(AFCE\) の対角線はないので、
対角線がそれぞれの中点で交わる
は除外しましょう。
※自ら対角線を引いて、それが中点で交わることを示すことは、ほぼないです。
絶対ないと言ってしまってよいくらいです。

この問題では、
\(1\) 組の対辺が平行で、その長さが等しい
が成り立ちますね。
\(AE /\!/ FC\)
\(AE=FC\)

中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形であることの証明 図1-2

これを解答としてまとめます。

解答

四角形 \(ABCD\) が平行四辺形なので、\(AE /\!/ FC\) ・・・①
四角形 \(ABCD\) が平行四辺形なので、\(AD = BC\) ・・・②
仮定より、 \(DE=BF\) ・・・③
②、③より、
\(AD-DE=BC-BF\)
よって、\(AE=FC\)・・・④
①、④より、\(1\) 組の対辺が平行で、その長さが等しいので、
四角形 \(AFCE\) は平行四辺形である。

参考・三角形の合同の証明の利用

下の図のように、
\(\triangle ABF \equiv \triangle CDE\)
を証明し、\(FA=CE\) をいうことができます。
中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形であることの証明 図1-3
これと \(AE=FC\)
から、\(2\) 組の対辺がそれぞれ等しいから四角形 \(AFCE\) は平行四辺形である
という証明の流れも可能です。

証明の解答には別解がありうることは知っておいてください。

例題2

平行四辺形 \(ABCD\) の対角線の交点を \(O\) とし、対角線 \(AC\) 上に
点 \(E,F\) を \(AE=CF\) となるようにとる。
このとき、四角形 \(EBFD\) は平行四辺形であることを証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形であることの証明 図2-1

解説

対角線が与えられていますから、
対角線がそれぞれの中点で交わる
から示せそうです。
実際に、それで正解です。
対角線があらかじめ与えられているときは、ほぼ間違いなく
対角線がそれぞれの中点で交わる
から証明することになります。
覚えておきましょう。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 平行四辺形であることの証明 図2-2

解答

四角形 \(ABCD\) が平行四辺形なので、\(BO=DO\) ・・・①
四角形 \(ABCD\) が平行四辺形なので、\(AO = CO\) ・・・②
仮定より、 \(AE=CF\) ・・・③
②、③より、
\(AO-AE=CO-CF\)
よって、\(EO=FO\)・・・④
①、④より、対角線がそれぞれの中点で交わるので、
四角形 \(EBFD\) は平行四辺形である。

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