中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】三角形の合同の証明・その2  

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例題1

下の図で \(AB=AE\)、\(AC=AD\) のとき \(\triangle ABC \equiv \triangle AED\) となることを証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 次の証明 問題の図1

解説

まずは下準備です。
仮定(はじめから与えられた条件)を図に入れましょう。
このとき、辺の長さが等しい という条件を図に入れたいのですが、
辺が重なっていて、どれとどれが等しいのか一目でわかるように図示できません。

中学数学・高校受験chu-su- 次の証明 問題の図2

よって、以下のようなマーキングをおすすめします。

中学数学・高校受験chu-su- 次の証明 問題の図3

さて、三角形の合同条件を探ります。
現在、示したい三角形の \(2\) 辺の長さがそれぞれ等しいことがわかっています。
あと \(1\) 辺の長さが等しい
か、あるいは、
間の角が等しいことを言えれば、
三角形の合同条件にあてはまります。
このように、
三角形の合同条件を知っていて、
あと何が言えれば合同条件にあてはまるのか、
という逆算の視点で問題を見るのです。
合同条件を知らないで合同を示すことなどできません。

今回は、すでに等しいとわかっている \(2\) 辺の間の角が等しいことがいえます。

中学数学・高校受験chu-su- 次の証明 問題の図4

ところで、この赤丸の角が等しいことについて、
理由はなんと書けばいいのでしょうか。
等しいなんて当たり前じゃん・・・って思いますよね。
これは、

共通な角なので、

とい理由をかきます。
※「共通なので」でもOKです。

これで準備が整いました。

解答

\(\triangle ABC\) と \(\triangle AED\) において
仮定より \(AB=AE\)
仮定より \(AC=AD\)
共通なので、\(\angle CAB=\angle EDA\)

よって、\(2\) 辺とその間の角がそれぞれ等しいので
\(\triangle ABC \equiv \triangle AED\)

このようになります。


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