中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】直角三角形の合同条件

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直角三角形の合同条件

\(2\) つの直角三角形が合同であることを示したいとき、
以下の \(2\) つを利用します。

直角三角形の合同条件
1 斜辺と \(1\) つの鋭角がそれぞれ等しい。
2 斜辺と他の \(1\) 辺がそれぞれ等しい

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 合同条件 その1
中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 合同条件 その2

この \(2\) つは暗記してください。
三角形の合同条件 \(3\) つを暗記しましたね?
同じことです、覚えないと話になりません。

斜辺、鋭角

ところで、斜辺、鋭角、という言葉は大丈夫でしょうか?

直角の向かい側の辺が斜辺です。
直角三角形の \(3\) 辺で、最も長い辺が斜辺です。

\(90°\) より小さい角を鋭角といいます。
(\(90°\) より大きい角を鈍角といいます。)
直角三角形の \(3\) つの角は、
\(1\) つは直角、他の \(2\) つは鋭角です。

直角三角形の合同条件をくわしく考察

改めて、直角三角形の合同条件です。

直角三角形の合同条件
1 斜辺と \(1\) つの鋭角がそれぞれ等しい。
2 斜辺と他の \(1\) 辺がそれぞれ等しい

なぜ、この \(2\) つの条件になるのか。
くわしく見てみましょう。

斜辺と \(1\) つの鋭角がそれぞれ等しい

三角形の \(3\) つの角のうち、\(2\) つの角の大きさが等しいならば、
最後に残った角の大きさも等しくなります。
つまり、\(3\) つの角度がすべて同じになります。
これは、斜辺とその両端の角がそれぞれ等しいことになります。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 合同条件 その3

これはつまり、一般の三角形の合同条件の \(1\) つである、
「\(1\) 辺とその両端の角がそれぞれ等しい」
と同じことが成立しているのです。

斜辺と他の \(1\) 辺がそれぞれ等しい

斜辺の長さを \(a\) ,他の \(1\) 辺の長さを \(b\) とします。
長さが \(a,b\) の \(2\) 本の棒を組みあわせて、直角三角形 \(ABC\) を作ります。
ただし、\(\angle ACB=90°\) です。

このとき、直角三角形 \(ABC\) は何通りもつくれるでしょうか?
それとも、ただ \(1\) つに形がきまるでしょうか?

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 合同条件 その4

ただ \(1\) つに定まります。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 合同条件 その5
よって、斜辺と他の \(1\) 辺がそれぞれ等しければ、
直角三角形は合同です。

参考

斜辺と他の \(1\) 辺がそれぞれ等しいときに合同であることは、
中学三年生で学習する「三平方の定理」を使えば、成立することは
ものすごく簡単にわかります。

また、中学三年生で学習する「円周角の定理の逆」を使っても、成立することは
ものすごく簡単にわかります。

普通の三角形の合同条件を用いてよい

 
\(2\) つの直角三角形の合同を示したいときに、
普通の三角形の合同条件を用いてもかまいません。

直角三角形も、当然ですが三角形なのですから。

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