中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】直角三角形の合同の証明

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例題1

下の図のように、点\(P\) から直線 \(L,M\) にそれぞれ垂線 \(PA,PB\) をひく。
このとき、\(PA=PB\) ならば、\(OP\) は \(\angle BOA\) の二等分線であることを証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 図1-1

解説

中学1年の作図で、角の二等分を学習しました。
このとき、「\(2\) 辺から等しい距離にある直線は角の二等分線」
ということを暗記したはずです。
暗記したはずのことですが、改めて証明せよというのです。

普通に問題を解くときは、証明なしで使っていい事実ですが、
改めて証明せよ、といわれれば証明しなくてはなりません。

証明の方針

\(\triangle POA \equiv \triangle POB\)
を示せばよいことはすぐにわかりますね?
この \(2\) つは直角三角形です。
斜辺ともう \(1\) つ(辺か角)がそれぞれ等しければいいのです。
明らかに斜辺は \(PO\) で共通。
仮定より \(AP=BP\) です。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 図1-2

斜辺と他の \(1\) 辺がそれぞれ等しいので \(\triangle POA \equiv \triangle POB\) です。

解答

\(\triangle POA\) と \(\triangle POB\) において
仮定より、\(AP=BP\) ・・・①
\(PO\) は共通・・・②
①、②より、
直角三角形の斜辺と他の \(1\) 辺が等しいので
\(\triangle POA \equiv \triangle POB\)
合同な図形の対応する角は等しいので、
\(\angle POA=\angle POB\)
よって、\(OP\) は \(\angle BOA\) の二等分線である。

例題2

直角二等辺三角形 \(ABC\) の頂点 \(A\) を通る直線 \(L\) に、頂点 \(B,C\) からそれぞれ垂線 \(BD,CE\) をひいた。このとき、\(\triangle ABD \equiv \triangle CAE\) を証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 図2-1

解説

有名図形配置です。
証明はやや独特の手法を用います。
きちんと理解した上で、暗記もしてください。

中学3年生で学習する「三平方の定理」をこの図形配置で証明することが非常に多く、
また様々な問題の種になり得る図形配置です。

解答

\(\triangle ABD\) と \(\triangle CAE\) の斜辺が等しいことは仮定より
与えられています。
よって、「あと \(1\) つの辺が等しい」か「あと \(1\) つの角が等しい」
のいずれかがいえればよいことになります。
どちらがいえそうか考えてみてください。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 図2-2

なかなか難しいですね。
ここがやや独特の手法を用いる箇所です。
いえるのは、
「あと \(1\) つの角が等しい」
になります。

下図の \(5\) つの赤い角に注目します。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 図2-3

点 \(A\) に集まった \(3\) つの角の和は一直線なので \(180°\) です。
\(○+△+90°=180°\)・・・①
また左の青い三角形の内角の和は \(180°\) です。
\(○+×+90°=180°\)・・・②
①、②より、
\(△=×\) がいえます!

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 図2-4

これで、斜辺と他の \(1\) つの鋭角がそれぞれ等しいので合同といえます。
※もちろん右の緑の三角形を用いて同様の説明が可能です。

解答

\(\triangle ABD\) と \(\triangle CAE\) において
仮定より、\(\triangle ABC\) が二等辺三角形なので、\(AB=CA\) ・・・①
仮定より、\(\angle BDA=\angle CAB =90°\) ・・・②
三角形の内角の和は \(180°\) なので②より、
\(\angle ABD=180°-\angle BDA-\angle DAB°\)
\(=180°-90°-\angle DAB°\)
\(=90°-\angle DAB°\) ・・・③
一直線の角は\(180°\) なので②より、
\(\angle CAE=180°-\angle CAB-\angle DAB°\)
\(=180°-90°-\angle DAB°\)
\(=90°-\angle DAB°\) ・・・④
③、④より、
\(\angle ABD=\angle CAE\) ・・・⑤
①、②、⑤より、直角三角形の斜辺と他の \(1\) つの鋭角がそれぞれ等しいので
\(\triangle ABD \equiv \triangle CAE\)

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