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【中学数学】三角形の合同の証明の利用・その2

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例題

下の図のように、\(\triangle ABC\) の辺\(AB,AC\) を \(1\) 辺とする正方形\(DBAE\) と正方形\(ACFG\) がある。このとき、\(EC=BG\) であることを証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 合同の証明の利用 図2-1

解説

証明の概略を考察

\(2\) つの線分の長さが等しいことの証明です。

前問の通り、これも結局「三角形の合同」を証明すれば良いのです。

示したいのは、\(EC=BG\) です。
この \(2\) つが、「合同な三角形の対応する辺」になっているはずです。
\(\triangle AEC\) と\(\triangle ABG\) が合同ですね!

この \(2\) つの三角形の
辺の長さが等しい箇所
角の大きさが等しい箇所
をチェックしていきましょう。

正方形があるので、等しい辺はすぐにわかります。
赤い辺どうし、青い辺どうしが等しい長さです。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 合同の証明の利用 図2-2

\(2\) つの辺がそれぞれ等しいので、
あとは、「その間の角が等しい」とがいえればOKです。
どちらの三角形も、赤い辺と青い辺の間の角は
直角+●です。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 合同の証明の利用 図2-3

以上より、\(2\) 辺とその間の角がそれぞれ等しいことから、合同といえます!

解答

\(\triangle AEC\) と\(\triangle ABG\) において
仮定より、正方形 \(DBAE\) の辺なので、\(AE=AB\)・・・①
仮定より、正方形 \(ACFG\) の辺なので、\(CA=GA\)・・・②
また、\(\angle CAE=\angle BAC+\angle EAB=\angle BAC+90°\)・・・③
\(\angle GAB=\angle BAC+\angle CAG=\angle BAC+90°\)・・・④
③、④より、
\(\angle CAE=\angle GAB\)・・・⑤
①、②、⑤より、\(2\) 辺とその間の角がそれぞれ等しいので
\(\triangle AEC \equiv \triangle ABG\)
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、\(EC=BG\)


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