中学数学の基本から難問までの問題と分かりやすい解説を掲載した完全無料のオンライン学習ページです。

【中学数学】三角形の合同の証明の利用・その2

例題

下の図のように、\(\triangle ABC\) の辺\(AB,AC\) を \(1\) 辺とする正方形\(DBAE\) と正方形\(ACFG\) がある。このとき、\(EC=BG\) であることを証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 合同の証明の利用 図2-1

解説

証明の概略を考察

\(2\) つの線分の長さが等しいことの証明です。

前問の通り、これも結局「三角形の合同」を証明すれば良いのです。

示したいのは、\(EC=BG\) です。
この \(2\) つが、「合同な三角形の対応する辺」になっているはずです。
\(\triangle AEC\) と\(\triangle ABG\) が合同であることが予想されますね!

この \(2\) つの三角形の
辺の長さが等しい箇所
角の大きさが等しい箇所
をチェックしていきましょう。

正方形があるので、等しい辺はすぐにわかります。
赤い辺どうし、青い辺どうしが等しい長さです。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 合同の証明の利用 図2-2

\(2\) つの辺がそれぞれ等しいので、
あとは、「その間の角が等しい」が言えればOKです。
どちらの三角形も、赤い辺と青い辺の間の角は
直角+●です。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 合同の証明の利用 図2-3

以上より、\(2\) 辺とその間の角がそれぞれ等しいことから、合同といえます!

解答

\(\triangle AEC\) と\(\triangle ABG\) において
仮定より、正方形 \(DBAE\) の辺なので、\(AE=AB\)・・・①
仮定より、正方形 \(ACFG\) の辺なので、\(CA=GA\)・・・②
また、\(\angle CAE=\angle BAC+\angle EAB=\angle BAC+90°\)・・・③
\(\angle GAB=\angle BAC+\angle CAG=\angle BAC+90°\)・・・④
③、④より、
\(\angle CAE=\angle GAB\)・・・⑤
①、②、⑤より、\(2\) 辺とその間の角がそれぞれ等しいので
\(\triangle AEC \equiv \triangle ABG\)
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、\(EC=BG\)





  • 次のページ 証明・二等辺三角形の性質の利用
  • 前のページ 三角形の合同の証明の利用・その1
    • Facebook
    • Hatena
    • twitter
    • Google+

    中学2年数学の解説







    Copyright©中学数学の無料オンライン学習サイトchu-su- All Rights Reserved.