中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】正負の数 かけ算・わり算・累乗

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かけ算(乗法)のルール
「負の数をかけると、符号が逆になる」

正負のかけ算

かけ算を乗法といい、その結果を積といいます。

さて、負の数のかけ算ですが、符号がどうなるのか、だけが注意点です。
符号以外は、今まで通りのかけ算をするのみです。

正負の数のかけ算の符号は以下のようになります。

  • 正 × 正 = 正
  • 正 × 負 = 負
  • 負 × 正 = 負
  • 負 × 負 = 正

この規則をきっちりと覚えてしまいましょう。
4つのパターンを覚えるというよりも、

  • 負の数をかけると、符号が逆になる

という唯一のルールを覚えてもらえばOKです。

なぜこのルールが成立するのか。
まずはあまり気にせずに、正しく運用できるようになりましょう。

数値部分のかけ算は小学校で習ったものと同じです。

  • \(5×(-2)=-10\)
  • \(-1×6=-6\)
  • \(-3×(-4)=12\)

今回も、計算ルールを暗記することを強くおススメします。
ルール丸暗記に抵抗を感じる人もいるでしょうが、
まずは計算がスラスラできるようになることを第一目標としてください。
その後に、なぜ?について考えてください。

なぜ?は、実はけっこう難しいです。
わかったつもりになることはそれほど難しくありませんが・・・
とにかく、負の数の計算は今後山ほどでてきます。
このときに、大事なことは
「いちいち考えなくともスラスラ計算ができる」
という状態になっておくことです。

分数の計算をするときに、その計算ルールのなりたちから考え直すことはしませんね。
それと同じことです。

「計算がスラスラできること」と「その計算の仕組みに熟知していること」は
必ずしも一致しません。

初学者は、「計算がスラスラできること」を優先してください。

加減をおさらい

負の符号、\(-\) ですが、逆向きにするという意味があります

\(-(-2)\) はいくつでしょうか
裏の裏は表、のようなもので、
\(-(-2)=2\)
です。
\(-(-2)=-1×(-2)=2\)
という理解もできます。

ここで改めて、正負の数の加減を見てみましょう。

\(5+(+3)=5+3\)・・・ \(+\) と \(+\) で \(+\)
\(5-(+3)=5-3\)・・・ \(-\) と \(+\) で \(-\)
\(5+(-3)=5-3\)・・・ \(+\) と \(-\) で \(-\)
\(5-(-3)=5+3\)・・・ \(-\) と \(-\) で \(+\)

符号が、かけ算のルールに従っていることがわかりますね。

3つ以上の乗法

次に3つの数のかけ算です。
\(-5×(-2)×(-3)\)

まず、最終的な積の符号が+か-かを判定します。
「負の数をかけると符号が逆になる」とは
「-と-をかけると+になる」ということなので、

  • -が偶数個かけ合わされていれば、+(プラス)
  • -が奇数個かけ合わされていれば、-(マイナス)

というルールになります。

よって、
\(-5×(-2)×(-3)\)
\(=-(5×2×3)\) ・・・まずは符号を決める。負を3つなので負。
\(=-30\) ・・・数の部分は普通のかけ算。
と求まります。

例題

次の計算をしなさい。
① \(3×(-5)\)
② \((-2)×(-\displaystyle \frac{1}{3})\)
③ \(4×(-5)×(-3)\)
④ \(-3×(-2)×(-2)×(-4)\)

解答

① \(-15\)
負の数が \(1\) つ、つまり奇数個なので、
答えの符号はマイナスになります。
\(3×(-5)=-15\)

② \(\displaystyle \frac{2}{3}\)
負の数が \(2\) つ、つまり偶数個なので、
答えの符号はプラスになります。
\((-2)×(-\displaystyle \frac{1}{3})=\displaystyle \frac{2}{3}\)

③ \(60\)
負の数が \(2\) つ、つまり偶数個なので、
答えの符号はプラスになります。
\(4×(-5)×(-3)\)
\(=+(4×5×3)\)
\(=60\)

④ \(48\)
負の数が \(4\) つ、つまり偶数個なので、
答えの符号はプラスになります。
\(-3×(-2)×(-2)×(-4)\)
\(=+(3×2×2×4)\)
\(=48\)

正負の割算

わり算のことを除法といい、その結果を商といいます。

わり算とは、わる数を逆数にしてかけ算することと同じです。
小学校で学習しましたね。

逆数

逆数とは、2つの数の積が1になるとき、一方を他方の逆数といいます。
どんな数も分数になおして考えます。
\(\frac{a}{b}\) の逆数は \(\frac{b}{a}\) です。
分子と分母を入れかえるだけです。
※0の逆数はありません。

  • \(\frac{3}{4} \)の逆数は\(\frac{4}{3} \)
  • \(0.25\)の逆数は\(4\)
  • \(1\)の逆数は\(1\)
  • \(-\frac{1}{2} \)の逆数は\(-2\)

正負の数の割算の符号

つまり、わり算は(逆数の)かけ算なので・・・
かけ算のときに学んだルールそのままです。


\(12÷(-3)\)
\(=12×\)\((-\frac{1}{3})\) ・・逆数のかけ算になおす。
\(=-(12×\)\(\frac{1}{3}\)\()\) ・・・符号を決める。
\(=-4\)

例題

次の計算をしなさい。
① \(-20÷(-5)\)
② \((-2)÷\displaystyle \frac{2}{3}\)
③ \((-6)÷(-8)×(-12)\)

解答

① \(4\)
負の数が \(2\) つ、つまり偶数個なので、
答えの符号はプラスになります。
\(-20÷(-5)\)
\(=+(20÷5)\)
\(=4\)

② \(-3\)
負の数が \(1\) つ、つまり奇数個なので、
答えの符号はマイナスになります。
符号を決めたあとは、普通に分数の割り算をします。
\((-2)÷\displaystyle \frac{2}{3}\)
\(=-(2÷\displaystyle \frac{2}{3})\)
\(=-(2×\displaystyle \frac{3}{2})\)
\(=-3\)

③ \(-9\)
負の数が \(3\) つ、つまり奇数個なので、
答えの符号はマイナスになります。
\((-6)÷(-8)×(-12)\)
\(=-(6÷8×12)\)
\(=-(6×\displaystyle \frac{1}{8}×12)\)
\(=-9\)

累乗

同じ数をいくつかかけ合わせたものを、その数の累乗(るいじょう)といいます。

累乗は、専用の表記があります。
具体例を見た方がはやいでしょう。

\(3×3=3^2\)・・・(3の2乗 にじょうと読みます)
\(5×5×5=5^3\)・・・(5の3乗 さんじょうと読みます)

右肩に小さく書かれた数を指数(しすう)といいます。
何回かけ合わせるのかを表示します。


\((-1)^5=-1\)

以下の2つは要注意です。しっかり区別して覚えましょう。
\((-3)^2=9\)・・・ \((-3)×(-3)=9\)
\(-3^2=-9\)・・・ \(-(3^2)=-9\)

例題

次の計算をしなさい。
① \(3×2^2\)
② \(-5^2\)
③ \((-1)^{15}\)
④ \((-12)÷2^3\)

解答

① \(12\)
\(3×2^2\)
\(=3×(2×2)\)
\(=12\)

よくある勘違いは、
\(\underline{3×2}^2=\underline{6}^2\)
これは間違いですよ!

② \(-25\)
\(-5^2\)
\(=-5×5\)
\(=-25\)

よくある間違いは
\(-5^2=(-5)^2=25\)
こればっかりは覚えるしかないです。

③ \(-1\)
\((-1)^{15}\)
\(=\underbrace{ (-1)× \cdots ×(-1)}_{15個 }\)
ということですね。負の数が \(15\) 個、つまり奇数個なので、
答えの符号はマイナスです。
よって、
\(\underbrace{ (-1)× \cdots ×(-1)}_{15個 }\)
\(=-1\)

④ \(-\displaystyle \frac{3}{2}\)

\((-12)÷2^3\)

\(=-\displaystyle \frac{12}{2^3}\)

\(=-\displaystyle \frac{12}{2×2×2}\) ・・・\(2^3=8\) とするより、約分しやすい!!

\(=-\displaystyle \frac{3}{2}\)

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