中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】円すいの表面積

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円すいの展開図

円すいの展開図は、下図のようになります。
側面を切り開いたおうぎ形と底面の円からなります。

中学数学・高校受験chu-su- 円すい 展開図 図1

側面のおうぎ形の中心角は、以下の公式から求めることができます。

円すいの側面の中心角= \(360×\)\(\displaystyle \frac{底面の半径}{母線}\)

また、側面の面積=側面積の公式もあります。

円すいの側面積=\(母線×底面の半径×{\pi}\)

まずはこの2つの公式をしっかり覚えてしまいましょう。

中心角の公式の成り立ち

なぜ円すいの2つの公式が成立するのでしょうか。

まず第一に、下図の赤線の長さが等しいということです。
これは、「組み立てたらぴったりだから」ということで、
計算によって求めることではありません。

中学数学・高校受験chu-su- 円すい 展開図 図2

つまり、
側面のおうぎ形の弧の長さ = 底面の円周
なので、側面のおうぎ形の中心角を \(x\) とすると、
\(母線×2×{\pi}×\displaystyle \frac{x}{360}=底面の半径×2×{\pi}\)

が成り立ちます。
この等式を変形していくと、中心角の公式が得られます。

両辺を \(2{\pi}\) で割ると
\(母線×\displaystyle \frac{x}{360}=底面の半径\)

両辺を母線でわると
\(\displaystyle \frac{x}{360}=\displaystyle \frac{底面の半径}{母線}\) ・・・ これは大事な比

両辺に \(360\) をかけると
\(x=360×\displaystyle \frac{底面の半径}{母線}\)   ・・・これが中心角の公式!!

側面積の公式の成り立ち

次に、円すいの側面積の公式を導きましょう。
円すいの側面積は、半径が母線のおうぎ形なので、

\(側面積=母線×母線×{\pi}×\displaystyle \frac{x}{360}\)

ですが、\(\displaystyle \frac{x}{360}=\displaystyle \frac{底面の半径}{母線}\)

でしたので、これを代入すると、

\(側面積=母線×母線×{\pi}×\displaystyle \frac{x}{360}\)

\(=母線×母線×{\pi}×\displaystyle \frac{底面の半径}{母線}\)

\(=母線×{\pi}×底面の半径\)

と求まります。

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