中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】1次方程式の解法・決定版

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1次方程式には様々な形があります。
かっこのある方程式
小数・分数をふくむ方程式
ケタの大きい数の方程式
解が与えられた方程式
これらを1つ1つ確認していきましょう。

かっこのある方程式

例題1

次の方程式を解きなさい。
\(2(x-3)=-3(x+5)\)

解説

かっこのある方程式は、かっこをはずします。
はずしたあとは、今まで通り移項によって解きましょう。

\(2(x-3)=-3(x+5)\)
\(2x-6=-3x-15\)
\(2x\)\(+3x\)\(=-15\)\(+6\)
\(5x=-9\)
\(x=-1.8\)

例題2

次の方程式を解きなさい。
\(3(5x+1)=-12\)

解説

もちろん、かっこをはずしても解けますが、
今回は、両辺を \(3\) で割ることができます。

\(3(5x+1)=-12\)
両辺を \(3\) で割ると
\(5x+1=-4\)
\(5x=-4-1\)
\(x=-1\)

小数をふくむ方程式、桁数の大きい方程式

例題3

次の方程式を解きなさい。
\(0.4x=0.05x+1.4\)

解説

小数を含む方程式は、両辺を \(10,100\)・・・倍することで、
整数だけの方程式になります。
※もちろん、小数のまま方程式を解いてもかまいません。

\(0.4x=0.05x+1.4\)
両辺を \(100\) 倍すると
\(40x=5x+140\)
両辺を \(5\) で割ると
\(8x=x+28\)
\(7x=28\)
\(x=4\)
※\(100\) 倍してから \(5\) で割っているので、
つまり、はじめの式を \(20\) 倍したということです。

例題4

次の方程式を解きなさい。
\(400x-3600=600(4-x)\)

解説

桁数が大きい方程式は、両辺を \(\displaystyle \frac{1}{10},\displaystyle \frac{1}{100}\)・・・倍することで、桁を小さくします。

今回は、\(\displaystyle \frac{1}{100}\) 倍ですね。
\(00\) を消すことができます。

\(400x-3600=600(4-x)\)
両辺を \(\displaystyle \frac{1}{100}\) 倍すると、
\(4x-36=6(4-x)\)
両辺を \(2\) で割って
\(2x-18=3(4-x)\)
右辺のかっこをはずして
\(2x-18=12-3x\)
\(2x+3x=12+18\)
\(5x=30\)
\(x=6\)

分数を含む方程式

例題5

次の方程式を解きなさい。
\(\displaystyle \frac{x}{3}-1=\displaystyle \frac{2}{5}x+4\)

解説

分数を含む方程式は、両辺に分母の最小公倍数をかけて、
分母をはらいましょう。

今回は、 \(3\) と \(5\) の最小公倍数、\(15\) を両辺にかけましょう。

\(\displaystyle \frac{x}{3}-1=\displaystyle \frac{2}{5}x+4\)
両辺に、 \(15\) をかけます。
( )をつけて、計算ミスを減らしましょう。
\(15×(\displaystyle \frac{x}{3}-1)=(\displaystyle \frac{2}{5}x+4)×15\)
\(5x-15=6x+60\)
\(5x-6x=60+15\)
\(-x=75\)
\(x=-75\)

例題6

次の方程式を解きなさい。
\(\displaystyle \frac{-x+1}{4}=0.6-\displaystyle \frac{x}{3}\)

解説

\(0.6=\displaystyle \frac{3}{5}\)
です。
分母である \(3,4,5\) の最小公倍数である \(60\) を両辺にかけましょう。

\(\displaystyle \frac{-x+1}{4}=0.6-\displaystyle \frac{x}{3}\)

両辺に、 \(60\) をかけます。
( )をつけて、計算ミスを減らしましょう。

\(60×\displaystyle \frac{(-x+1)}{4}=(\displaystyle \frac{3}{5}-\displaystyle \frac{x}{3})×60\)

\(15(-x+1)=36-20x\)
\(-15x+15=36-20x\)
\(-15x+20x=36-15\)
\(5x=21\)
\(x=4.2\)

解が与えられた方程式

例題6

次の方程式の解が \(x=4\) のとき、\(a\) の値を求めなさい。
\(3a-2x=-5x+6\)

解説

解とは何であるか、覚えていますか?
解とは、方程式のつりあいをくずさない(等号が保たれる)値です。
よって、解は方程式に代入します。
すると、\(a\) についての方程式になるので、それを解けば \(a\) が求まります。

\(3a-2x=-5x+6\) に \(x=4\) を代入すると
\(3a-2×(4)=-5×(4)+6\)
\(3a-8=-20+6\)
\(3a=-20+6+8\)
\(3a=-6\)
\(a=-2\)
※正の数を代入するとき、( )をつける必要はありませんが、
代入を強調するための上の式のようにしました。

例題7

次の方程式の解が \(x=-2\) のとき、\(a\) の値を求めなさい。
\(-a+3x=5x-2a\)

解説

解は方程式に代入します。バカの一つ覚えでOK
解は代入です!!
負の数を代入するときは絶対にかっこをつけましょう。

\(-a+3x=5x-2a\) に \(x=-2\) を代入すると
\(-a+3×(-2)=5×(-2)-2a\)
\(-a-6=-10-2a\)
\(-a+2a=-10+6\)
\(a=-4\)

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