中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】比例の具体例・水そう・速さ

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比例・水そう

水そうに一定の割合で、水を入れていく問題は、
比例の定番中の定番です。

例題1

\(32L\) の容積の水そうに毎分 \(4L\) ずつ水を入れていく。水を入れる時間を \(x\) 分 、
その間に入る水の量を \(yL\) との関係について、次の問いに答えなさい。
(1)\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
(2)\(x,y\) の関係をグラフで表しなさい。
(3)\(x\) の変域と \(y\) の変域を求めなさい。
(4)\(25L\) 入れるためには何分間必要か求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 比例 水そうの具体例 図1

解説

(4)\(25L\) 入れるための時間

小学生なら、(1)から(3)は意味不明ですが、
(4)が解けますね。
\(25÷4=\displaystyle \frac{25}{4}\)

よって、\(\displaystyle \frac{25}{4}\) (分)
と求まります。

(1)\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。

この問題では、
\(1\) 分で \(4L\)
\(2\) 分で \(8L\)
\(3\) 分で \(12L\)
\(4\) 分で \(16L\)
と規則正しく水が入ります(比例です)。
\(y\) 分で \(xL\) という \(2\) 量の関係は、
明らかに、 \(y=4x\) という関係式になっています。

答えは、 \(y=4x\)  です。

(2)と(3)を同時に解決

満水になるのは、当然、\(32÷4=8\) より、
\(8\) 分で \(32L\) の満水です。

つまり、「(3) \(x\) の変域と \(y\) の変域」が求まりましたね。

\(0 \leqq x \leqq 8\)
\(0 \leqq y \leqq 32\)
です。

これらをもとに、グラフをかきます。
グラフのための目盛りが、
右 \(1\) 目盛りは \(1\) 分
上 \(1\) 目盛りは \(2L\)
であることをまず読み取ります。

そして、
\(1\) 分で \(4L\)
\(2\) 分で \(8L\)
\(3\) 分で \(12L\)
\(4\) 分で \(16L\)
と点を取っていきます。
\(8\) 分で \(32L\) までです。
これらを直線で結べばグラフの完成です。

中学数学・高校受験chu-su- 比例 水そうの具体例 図2

比例・速さ

一定の速さで、進む問題も、
比例の定番中の定番です。

例題2

兄は自転車に乗って、弟は徒歩で、家を同時に出発し、家から \(1200m\) 離れた駅に向かった。出発から \(x\) 分後に、家から \(ym\) 離れた地点にいるとき、\(2\) 人の進行の様子
は下のグラフのようになった。次の問いに答えなさい。
(1)兄について、\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
(2)弟について、\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
(3)家を出発してから \(9\) 分後に、弟は家から何mの地点にいたか求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 比例 速さの具体例 図1

解説

(1)兄について、\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。

兄は、\(1200m\) を \(4\) 分かけて進んでいるので、
\(1\) 分で \(300m\) 進みます。
よって、 \(y=300x\) です。

あるいは、直線の傾きに注目すれば下図のようになります。

中学数学・高校受験chu-su- 比例 速さの具体例 図2

※本質的には同じ解き方をしています。

(2)弟について、\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。

兄は、\(1200m\) を \(16\) 分かけて進んでいるので、
\(1\) 分で \(75m\) 進みます。
よって、 \(y=75x\) です。

あるいは、直線の傾きに注目すれば下図のようになります。

中学数学・高校受験chu-su- 比例 速さの具体例 図3

※本質的には同じ解き方をしています。

(3)家を出発してから \(9\) 分後に、弟は家から何mか

グラフを見ても、格子点ではないので読み取れませんね。
(2)で求めた弟の式を使います。

\(y=75x\)
なので、この式に \(x=9\) を代入します。

\(y=75×9\)
より
\(y=675\)
よって、\(675m\) です。

※もちろん、弟の速さが、分速 \(75m\) なので、
\(75×9=675(m)\) と解いてもOKです。

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