中学数学の基本から難問までの問題と分かりやすい解説を掲載した完全無料のオンライン学習ページです。

【中学数学】反比例の具体例・歯車

歯車は反比例

かみあった歯車が回転する問題があります。
これは反比例の問題ですし、
反比例のときにしか「歯車」もでてきません。
覚えてしまいましょう。

例題

歯車 \(A\) があり、その歯数は \(30\) で、\(1\) 分間に \(10\) 回転します。
この歯車 \(A\) に、いろいろな歯車をかみ合わせて回転させます。
歯車 \(A\) にかみ合わせる歯車を歯車 \(B\) とし、その歯数を \(x\) 、
\(1\) 分間の回転数を \(y\) とするとき、次の問いに答えなさい。

① \(x=50\) のときの \(y\) を求めなさい。
② \(y\) を \(x\) の式で表しなさい。

解説

「かみあった歯車が回転」するとき、何が起こるのか説明します。

下図の赤色の部分に注目します。
\(1\) 分間 \(2\) つの歯車を回転させたとき、
この部分を、のべいくつの歯が通過したのかを考えます。

中学数学・高校受験chu-su- 反比例 歯車 図1
※図は、不正確です。念のため。

歯車 \(A\) と歯車 \(B\) はかみ合っているので、
赤部分を通過する歯は、
\(A\) の歯 → \(B\) の歯 → \(A\) の歯 → \(B\) の歯 → ・・・
と交互に規則正しくなります。
つまり、
「\(A\) の歯が赤部分を通過した回数」

「\(B\) の歯が赤部分を通過した回数」
は等しくなります。
※現実世界では回転させた時間しだいでは、どちらかが \(1\) 回多くなることもあるでしょうが、数学の問題において、それは考慮する必要はありません。

①\(x=50\) のときの \(y\)

歯車 \(A\) の歯数は \(30\) で、\(1\) 分間に \(10\) 回転するので、
\(30×10=300\) より、
歯車 \(A\) の歯は \(1\) 分間に、のべ \(300\) 、赤部分を通過します。
※歯の数を数える単位は何でしょう?枚でしょうか?
とりあえず単位なしで話を進めます。

一方
歯車 \(B\) の歯数は \(50\) で、\(1\) 分間に \(y\) 回転するので、
\(50×y=300\) より、
\(y=6\)
です。
※ \(B\) は \(1\) 分間に \(6\) 回転するということです。

②\(y\) を \(x\) の式で表せ

\(Aの歯数×Aの回転数=Bの歯数×Bの回転数\)
が成立します。
※これを覚えてしまいましょうね。

\(A\) の歯数 \(30\)
\(A\) の \(1\) 分間の回転数 \(10\) をこの式に入れると
\(30×10=xy\)
より、
\(y=\displaystyle \frac{300}{x}\)
となります。
これが求める式です。

かみ合う歯車のまとめ

かみ合う歯車 \(A,B\) に関して、

\(Aの歯数×Aの回転数=Bの歯数×Bの回転数\)

が成立します。
これを覚えましょう。
積一定なので、反比例の関係です。
反比例なので、
\(y=\displaystyle \frac{a}{x}\)
という式になるのですが、
歯車の問題を解くときは、
\(Aの歯数×Aの回転数=Bの歯数×Bの回転数=比例定数 a\)
で解くのがおススメです。
式成立の意味がわかるので、圧倒的に覚えやすいです。

必要に応じて、
\(y=\displaystyle \frac{a}{x}\)
の形に式変形をすれば良いのです。

スポンサーリンク





  • Facebook
  • Hatena
  • twitter
  • Google+

中学1年数学の解説







Copyright©中学数学の無料オンライン学習サイトchu-su- All Rights Reserved.