中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】作図 30°・45° 特殊角の作図

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直角の利用

例題1

\(\angle AOB\) が \(45°\) になるように線分 \(OA\) を作図しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 45度の作図 問題の図

解答

\(45°\) と言えば、直角の半分です。
つまり

  1. 直角をつくる
  2. 直角を二等分する

この作図方針がすぐ立ちますね。
しっかりと理解・暗記をしておきましょう。

中学数学・高校受験chu-su- 45度の作図 解答図1

中学数学・高校受験chu-su- 45度の作図 解答図2

正方形を作図して、対角線を引くと\(45°\) の作図ともいえます。
もちろん直角の二等分のさいに作図するひし形が、正方形である必要はありません。

正三角形の利用

例題2

\(\angle AOB\) が \(30°\) になるように線分 \(OA\) を作図しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 30度の作図 問題の図

解答

\(30°\) と言えば・・・
直角の \(3\) 等分・・・では作図できません!
角の \(3\) 等分は不可能なんです(なぜなのかは激難なので、不可能と覚えておいてね)。

\(30°\) といえば、\(60°\) の二等分なのです。
では、\(60°\) と言えば?

そうです。
正三角形の内角です。
つまり

  1. 正三角形の作図で、\(60°\) をつくる
  2. \(60°\) を二等分する

この作図方針です。
しっかりと理解・暗記をしておきましょう。

中学数学・高校受験chu-su- 30度の作図 解答図1

中学数学・高校受験chu-su- 30度の作図 解答図2

作図が可能な角度とは

その他、\(75°\) や\(22.5°\) など、作図可能な角度は様々にありますが、これらはいずれも、
\(90°\) と \(60°\) の角の二等分を利用して作図をします。

\(90,45,22.5,11.25・・・\)
\(60,30,15,7.5・・・\)

上であげた角と、それらの和や差で作られる角のみが作図可能な角です。

例えば \(75°\) は、
直角から、\(60°\) の二等分の二等分である \(15°\) を引けば作れますし、
あるいは、\(90°\) の二等分と \(60°\) の二等分の和で作ることもできます。
\(30°\) 度の作図より、その外角の \(150°\) を二等分して作ることもできます。

いずれにしろ、\(90°,60°\) の角とその二等分された角を利用します。

注 中学数学の範囲をはるかに超えた作図というものはあり、作図可能な角度は上記以外にもあります。
例えば正五角形や正十七角形の作図が可能なので、その内角をつくることができます。

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